指数関数と対数関数の問題

方針 正の数 $N$ について
$$-n\le {\log }_{10}N<-n+1$$
が成り立つとき、$10^{-n}\le N<10^{-n+1}$ となるので、$N$ は小数第 $n$ 位に初めて $0$ でない数字が現れます。そこで ${\log }_{10}{\left(\frac{1}{6}\right)}^{15}$ を計算します。

手順1：${\log }_{10}6$ を求める
$${\log }_{10}6={\log }_{10}(2\times 3)={\log }_{10}2+{\log }_{10}3=0.3010+0.4771=0.7781$$

手順2：${\log }_{10}{\left(\frac{1}{6}\right)}^{15}$ を求める
$${\log }_{10}{\left(\frac{1}{6}\right)}^{15}=15{\log }_{10}\frac{1}{6}=-15{\log }_{10}6=-15\times 0.7781=-11.6715$$

手順3：整数ではさむ
$$-12\le -11.6715<-11$$
すなわち
$$-12\le {\log }_{10}{\left(\frac{1}{6}\right)}^{15}<-12+1$$
なので
$$10^{-12}\le {\left(\frac{1}{6}\right)}^{15}<10^{-11}$$
となります。

手順4：結論
$10^{-12}=0.000000000001$（小数第 $12$ 位が $1$）以上で $10^{-11}$ 未満なので、${\left(\frac{1}{6}\right)}^{15}$ は小数第 $12$ 位に初めて $0$ でない数字が現れます。

答え：小数第 $12$ 位

${\log }_{10}{\left(\frac{1}{6}\right)}^{15}=-15({\log }_{10}2+{\log }_{10}3)=-15(0.3010+0.4771)=-15\times 0.7781=-11.6715$.
$-12<-11.6715<-11$ なので、$10^{-12}<{\left(\frac{1}{6}\right)}^{15}<10^{-11}$。
よって ${\left(\frac{1}{6}\right)}^{15}=a\times 10^{-12}$ ($1\le a<10$) の形で、$10^{-12}$ は小数第12位の位に当たるので、初めて 0 でない数字が現れるのは小数第12位。
検算: $10^{-11.6715}=10^{0.3285}\times 10^{-12}$ で $10^{0.3285}\approx 2.13$。実際 $6^{15}=470184984576\approx 4.7\times 10^{11}$、逆数は $\approx 2.13\times 10^{-12}$ で一致する。