常用対数と小数第何位

$- n \leq lo g_{10} N < - n + 1$ のとき $N$ は小数第 $n$ 位に初めて $0$ でない数字が現れることを使い、 $(\frac{5}{6})^{n}$ が小数第 $10$ 位に初めて $0$ でない数字が現れるような $n$ の範囲・個数を求められる

前提

常用対数と桁数（数学II 指数関数と対数関数）
連立不等式（数学I 数と式）

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算数中学高校大学大学院

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説明

$0$ より大きく $1$ より小さい数 $N$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるかを、常用対数 $lo g_{10} N$ の値から判定する技能です。 $(\frac{5}{6})^{100}$ のように、実際に計算すると $0$ がたくさん並んで手に負えない数でも、どのくらい小さいかが分かります。逆に「小数第 $10$ 位に初めて $0$ でない数字が現れる」という条件から、指数 $n$ の範囲や個数を求めることもできます。

なぜそうしてよいのか

まず具体例で考えます。小数第 $3$ 位に初めて $0$ でない数字が現れる数は $0.00 □ \dots$ の形で、いちばん小さいものは $0.001$ です。また $0.01$ 以上になると小数第 $2$ 位に $0$ でない数字が現れてしまうので、 $0.01$ 未満です。つまり $0.001 \leq N < 0.01$ 、すなわち $1 0^{- 3} \leq N < 1 0^{- 2}$ です。一般に、小数第 $n$ 位に初めて $0$ でない数字が現れる正の数 $N$ は、ちょうど $1 0^{- n} \leq N < 1 0^{- n + 1}$ を満たす数です。

底 $10$ は $1$ より大きいので、 $lo g_{10} x$ は $x$ が大きいほど大きくなります。そのため各辺の常用対数をとっても不等号の向きは変わらず、 $lo g_{10} 1 0^{- n} = - n$ より $- n \leq lo g_{10} N < - n + 1$ が得られます。逆にこの不等式が成り立てば、 $N$ は小数第 $n$ 位に初めて $0$ でない数字が現れます。桁数の判定 $n - 1 \leq lo g_{10} N < n$ を、 $1$ より小さい数に向けて作り直したものと考えるとよいでしょう。

たとえば $lo g_{10} N = - 2.3$ なら $- 3 \leq - 2.3 < - 2$ なので、 $N$ は小数第 $3$ 位に初めて $0$ でない数字が現れます。整数部分の「 $2$ 」ではなく、 $- 2.3$ 以下で最大の整数 $- 3$ から $n = 3$ と読み取る点に注意しましょう。

手順

$lo g_{10} N$ を、与えられた値（ $lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ など）と対数の性質を使って計算する。 $N = a^{n}$ なら $lo g_{10} N = n lo g_{10} a$ となる。
「小数第 $k$ 位に初めて $0$ でない数字が現れる」という条件を、不等式 $- k \leq lo g_{10} N < - k + 1$ に書き直す。
手順 1 の式を代入して、 $A \leq B n < C$ の形の連立不等式を解く。負の数で割るときは不等号の向きを逆にする。
得られた範囲に含まれる自然数 $n$ を書き出し、必要ならその個数を数える。等号が付く端と付かない端に注意する。

例題

$lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。 $(\frac{5}{6})^{n}$ を小数で表したとき、小数第 $10$ 位に初めて $0$ でない数字が現れるような自然数 $n$ は何個あるか求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $lo g_{10} 5 = lo g_{10} \frac{10}{2} = 1 - 0.3010 = 0.6990$ 、 $lo g_{10} 6 = lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$ である。よって $lo g_{10} \frac{5}{6} = 0.6990 - 0.7781 = - 0.0791$ となり、 $lo g_{10} (\frac{5}{6})^{n} = - 0.0791 n$ である。

【手順 2】小数第 $10$ 位に初めて $0$ でない数字が現れる条件は $- 10 \leq - 0.0791 n < - 9$ である。

【手順 3】各辺に $- 1$ を掛けると不等号の向きが逆になり、 $9 < 0.0791 n \leq 10$ となる。各辺を正の数 $0.0791$ で割ると $\frac{9}{0.0791} < n \leq \frac{10}{0.0791}$ となる。 $\frac{9}{0.0791} = 113.7 \dots$ 、 $\frac{10}{0.0791} = 126.4 \dots$ なので、 $113.7 \dots < n \leq 126.4 \dots$ である。（確認として、 $0.0791 \times 113 = 8.9383$ 、 $0.0791 \times 114 = 9.0174$ 、 $0.0791 \times 126 = 9.9666$ 、 $0.0791 \times 127 = 10.0457$ である。）

【手順 4】この範囲の自然数は $n = 114, 115, \dots, 126$ で、その個数は $126 - 114 + 1 = 13$ 個である。

答え: $13$

よくある誤り

桁数の判定と混同して $- k + 1 \leq lo g_{10} N < - k + 2$ や $k - 1 \leq lo g_{10} N < k$ を使ってしまう誤り。正しくは $1 0^{- k} \leq N < 1 0^{- k + 1}$ から $- k \leq lo g_{10} N < - k + 1$ である。たとえば $lo g_{10} N = - 2.3$ なら、 $N$ は小数第 $3$ 位に初めて $0$ でない数字が現れる（第 $2$ 位ではない）。
負の数で割るときに不等号の向きを変え忘れ、 $- 10 \leq - 0.0791 n < - 9$ から $\frac{- 10}{- 0.0791} \leq n < \frac{- 9}{- 0.0791}$ としてしまう誤り。正しくは向きが逆になり、 $\frac{9}{0.0791} < n \leq \frac{10}{0.0791}$ となる。
端の等号を取り違え、範囲を $113.7 \dots \leq n < 126.4 \dots$ のように読んでしまう誤り。ここでは端がどちらも整数でないので答えは変わらないが、端が整数になる問題では個数がずれる。正しくは $- 10 \leq lo g_{10} N$ （等号あり）、 $lo g_{10} N < - 9$ （等号なし）であり、 $9 < 0.0791 n \leq 10$ となる。
$lo g_{10} 5$ を求めずに先へ進めなくなったり、 $lo g_{10} \frac{5}{6} = \frac{l o g _{10} 5}{l o g _{10} 6}$ と計算してしまったりする誤り。正しくは $lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2$ であり、 $lo g_{10} \frac{5}{6} = lo g_{10} 5 - lo g_{10} 6$ と引き算で計算する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

最高位の数字（数学II 指数関数と対数関数）