指数関数と対数関数の問題

小数第 $10$ 位に初めて $0$ でない数字が現れる正の数 $x$ は、
$$10^{-10}\le x<10^{-9}$$
を満たす数である。したがって、求める条件は
$$10^{-10}\le {\left(\frac{5}{6}\right)}^n<10^{-9}$$
である。各辺の常用対数をとると、底 $10$ は $1$ より大きいので不等号の向きは変わらず、
$$-10\le n{\log }_{10}\frac{5}{6}<-9(1)$$
となる。

ここで
$${\log }_{10}5={\log }_{10}\frac{10}{2}=1-{\log }_{10}2=1-0.3010=0.6990,$$
$${\log }_{10}6={\log }_{10}2+{\log }_{10}3=0.3010+0.4771=0.7781$$
より
$${\log }_{10}\frac{5}{6}=0.6990-0.7781=-\mathrm{0.0791.}$$

これを $(1)$ に代入すると
$$-10\le -0.0791n<-9.$$
各辺を $-0.0791$ で割ると不等号の向きが逆になり、
$$\frac{9}{0.0791}<n\le \frac{10}{0.0791}.$$
ここで
$$\frac{9}{0.0791}=113.7\cdots ,\frac{10}{0.0791}=126.4\cdots$$
であるから、$113.7\cdots <n\le 126.4\cdots$ を満たす正の整数 $n$ は $n=114,115,\dots ,126$ である。

(確認) $n=114$ のとき $114\times (-0.0791)=-9.0174$、$n=126$ のとき $126\times (-0.0791)=-9.9666$ で、どちらも $-10$ 以上 $-9$ 未満である。$n=113$ のとき $-8.9383$、$n=127$ のとき $-10.0457$ となり、範囲から外れる。

よって個数は $126-114+1=13$ である。

小数第10位に初めて0でない数字が現れる条件は $10^{-10}\le (5/6{)}^n<10^{-9}$ である。常用対数をとると $-10\le n{\log }_{10}(5/6)<-9$ となる。

${\log }_{10}(5/6)={\log }_{10}5-{\log }_{10}6=(1-0.3010)-(0.3010+0.4771)=0.6990-0.7781=-0.0791$。

よって $-10\le -0.0791n<-9$、すなわち $9<0.0791n\le 10$ である。

これより $113.78\cdots <n\le 126.42\cdots$ となる。

検算: $0.0791\times 113=8.9383<9$、$0.0791\times 114=9.0174>9$、$0.0791\times 126=9.9666\le 10$、$0.0791\times 127=10.0457>10$。

したがって $n=114,115,\dots ,126$ であり、個数は $126-114+1=13$。