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指数関数と対数関数の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学II 指数関数と対数関数

$n$ は正の整数とする。 $1 2^{n}$ が $(n + 3)$ 桁の整数であり、かつ $1 2^{n}$ の最高位の数字が $1$ であるような $n$ をすべて求めよ。ただし、 $lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ として計算せよ。

この問題で使うもの

対数の定義と性質（説明と入口の問題）
常用対数と桁数（説明と入口の問題）
最高位の数字（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（22 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$1 2^{n}$ が $(n + 3)$ 桁で最高位の数字が $1$ であることを、 $10$ の累乗を使った不等式で表してみましょう。

ヒント 2

条件は $1 0^{n + 2} \leq 1 2^{n} < 2 \cdot 1 0^{n + 2}$ と同値です。常用対数をとり、 $lo g_{10} 12 = 2 lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3$ を使いましょう。

ヒント 3

$lo g_{10} 12 = 1.0791$ より、不等式は $2 \leq 0.0791 n < 2.3010$ となります。これを満たす正の整数 $n$ を調べましょう。

答えと解説

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{26, 27, 28, 29}

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解説を読む

まず $lo g_{10} 12$ を求める。
$lo g_{10} 12 = lo g_{10} (2^{2} \cdot 3) = 2 lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3 = 2 \times 0.3010 + 0.4771 = 1.0791$
よって $lo g_{10} 1 2^{n} = 1.0791 n$ である。

桁数の条件
$1 2^{n}$ が $(n + 3)$ 桁であることは
$1 0^{n + 2} \leq 1 2^{n} < 1 0^{n + 3}$
と同値である。各辺の常用対数をとると
$n + 2 \leq 1.0791 n < n + 3$
すなわち
$2 \leq 0.0791 n < 3 (1)$

最高位の数字の条件
$1 2^{n}$ が $(n + 3)$ 桁で最高位の数字が $1$ であることは
$1 0^{n + 2} \leq 1 2^{n} < 2 \cdot 1 0^{n + 2}$
と同値である。常用対数をとると
$n + 2 \leq 1.0791 n < n + 2 + lo g_{10} 2 = n + 2.3010$
すなわち
$2 \leq 0.0791 n < 2.3010 (2)$
$(2)$ が成り立てば $(1)$ も成り立つので、 $(2)$ を満たす正の整数 $n$ を求めればよい。

$(2)$ より
$\frac{2}{0.0791} \leq n < \frac{2.3010}{0.0791}$
ここで $\frac{2}{0.0791} = 25.28 \dots$ 、 $\frac{2.3010}{0.0791} = 29.08 \dots$ である。

確認すると、
- $n = 25$ : $0.0791 \times 25 = 1.9775 < 2$ なので不適
- $n = 26$ : $0.0791 \times 26 = 2.0566$ で適する
- $n = 29$ : $0.0791 \times 29 = 2.2939 < 2.3010$ で適する
- $n = 30$ : $0.0791 \times 30 = 2.373 \geq 2.3010$ なので不適

したがって求める $n$ は
$n = 26, 27, 28, 29$

別解

$lo g_{10} 12 = 2 lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3 = 0.6020 + 0.4771 = 1.0791$ より、 $lo g_{10} 1 2^{n} = 1.0791 n$ である。

$1 2^{n}$ が $(n + 3)$ 桁であることから、 $n + 2 \leq 1.0791 n < n + 3$ が成り立つ。

最高位の数字が $1$ であることは、 $1.0791 n$ の小数部分が $lo g_{10} 2 = 0.3010$ 未満であることと同じである。

$1 2^{n}$ が $(n + 3)$ 桁なので $1.0791 n$ の整数部分は $n + 2$ である。よって小数部分は $1.0791 n - (n + 2) = 0.0791 n - 2$ となる。

したがって条件は $0 \leq 0.0791 n - 2 < 0.3010$ 、すなわち $2 \leq 0.0791 n < 2.3010$ である。

これを解くと $25.28 \dots \leq n < 29.09 \dots$ となる。 $n$ は整数なので $n = 26, 27, 28, 29$ である。

検算：
- $n = 26$ のとき $0.0791 \times 26 = 2.0566$ で範囲に入る。
- $n = 25$ のとき $1.9775$ で範囲外。
- $n = 29$ のとき $2.2939$ で範囲に入る。
- $n = 30$ のとき $2.373$ で範囲外。

真の値 $lo g_{10} 12 = 1.079181 \dots$ を使っても同じ結果になる（ $n = 29$ で $2.2962 < 2.3010$ 、 $n = 30$ で $2.3754$ ）。

答え： $n = 26, 27, 28, 29$

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