協力ゲームのコア

プレイヤー全体の集合を $N=\{1,2,3\}$ とする提携形（特性関数形）ゲーム $(N,v)$ を考える。特性関数 $v$ は次で与えられる。
$$v(\{1\})=v(\{2\})=v(\{3\})=0,v(\{1,2\})=8,v(\{1,3\})=6,v(\{2,3\})=5,v(N)=12$$
配分 $(x_1,x_2,x_3)$（$x_1,x_2,x_3$ は実数）がコアに属するとは、全体合理性 $x_1+x_2+x_3=v(N)$ と、空でないすべての提携 $S⊊N$ に対する提携合理性 ${\sum }_{i\in S}{x}_i\ge v(S)$ をみたすことをいう。コアに属する配分全体を考えるとき、プレイヤー $1$ の取り分 $x_1$ の最小値と最大値をこの順に求めよ。

プレイヤー全体の集合を $N=\{1,2,3\}$ とする提携形（特性関数形）ゲーム $(N,v)$ を考える。特性関数 $v$ は次で与えられる（$v(\varnothing )=0$ とする）。
$$v(\{1\})=v(\{2\})=v(\{3\})=0,v(\{1,2\})=6,v(\{1,3\})=8,v(\{2,3\})=10,v(N)=12$$
配分 $(x_1,x_2,x_3)$（$x_1,x_2,x_3$ は実数）がコアに属するとは、次の 2 つを満たすことである。

• 全体合理性：$x_1+x_2+x_3=v(N)$
• 提携合理性：空でないすべての提携 $S\subseteq N$ に対して ${\sum }_{i\in S}{x}_i\ge v(S)$

このゲームのコアはただ 1 つの配分からなる。その配分 $(x_1,x_2,x_3)$ を求めよ。

プレイヤー全体の集合を $N=\{1,2,3\}$ とする提携形（特性関数形）ゲーム $(N,v)$ を考える。特性関数 $v$ は次で与えられる。
$$v(\{1\})=v(\{2\})=v(\{3\})=0,v(\{1,2\})=6,v(\{1,3\})=8,v(\{2,3\})=10,v(N)=12$$
利得ベクトル $(x_1,x_2,x_3)$（$x_1,x_2,x_3$ は実数）がコアに属するのは、全体合理性 $x_1+x_2+x_3=v(N)$ と、すべての提携 $S\subseteq N$（$S\ne \varnothing$）に対する提携合理性 ${\sum }_{i\in S}{x}_i\ge v(S)$ を満たすときである。このゲームのコアはただ 1 点からなる。その点 $(x_1,x_2,x_3)$ を求めよ。

プレイヤー全体の集合を $N=\{1,2,3,4\}$ とする提携形（特性関数形）ゲーム $(N,v)$ を考える。$t$ は $0\le t\le 12$ を満たす実数の定数とする。$j,k$ は $2,3,4$ のうちの互いに異なるものを表し、特性関数 $v$ は次で与えられる。

• $v(\varnothing )=0$、$v(\{i\})=0(i=1,2,3,4)$
• $v(\{1,j\})=6$、$v(\{j,k\})=0$
• $v(\{1,j,k\})=9$、$v(\{2,3,4\})=t$
• $v(N)=12$

このゲームのコア $C(v)$ を、
$$\sum _{i\in N}{x}_i=v(N)$$
を満たし、かつすべての提携 $S\subseteq N$ について
$$\sum _{i\in S}{x}_i\ge v(S)$$
を満たす $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{R}}^4$ 全体の集合と定める。

コア $C(v)$ が空でないような $t$ の最大値を $t_1$、シャープレイ値 $({\varphi }_1,{\varphi }_2,{\varphi }_3,{\varphi }_4)$ が $C(v)$ に属するような $t$ の最大値を $t_2$ とする。$t_1,t_2$ をこの順に組 $(t_1,t_2)$ で求めよ。

プレイヤー集合 $N=\{1,2,3,4,5\}$ の提携形ゲーム（特性関数形ゲーム）を考える。プレイヤー $1,2$ はそれぞれ左手用の手袋を $1$ 枚ずつ、プレイヤー $3,4,5$ はそれぞれ右手用の手袋を $1$ 枚ずつ持っており、左右 $1$ 枚ずつの組が $1$ つできるごとに価値 $1$ が生まれる。すなわち提携 $S\subseteq N$ に対し、$S$ に含まれる $\{1,2\}$ のプレイヤーの人数を $\ell (S)$、$\{3,4,5\}$ のプレイヤーの人数を $r(S)$ として
$$v(S)=\min \{\ell (S),r(S)\}$$
と定める（$v(\varnothing )=0$）。

配分 $x=(x_1,\dots ,x_5)\in {\mathbb{R}}^5$ のうち、${\sum }_{i\in N}{x}_i=v(N)$ かつすべての提携 $S\subseteq N$ について ${\sum }_{i\in S}{x}_i\ge v(S)$ を満たすもの全体をコアという。このゲームのコアはただ 1 点からなる。そのコアの点の第 1 成分を $c_1$、プレイヤー $1$ のシャープレイ値を ${\phi }_1$ とするとき、$c_1-{\phi }_1$ を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、プレイヤーの集合を $N=\{1,2,\dots ,n\}$ とする。関数 $f:\{0,1,\dots ,n\}\to \mathbb{R}$ は $f(0)=0$ をみたすとし、提携 $S\subseteq N$ の値を $v(S)=f(|S|)$ で定める特性関数形ゲーム $(N,v)$ を考える（$|S|$ は $S$ の要素の個数）。

ベクトル $x=(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$ と $S\subseteq N$ に対し $x(S)={\sum }_{i\in S}{x}_i$（$x(\varnothing )=0$）とおく。$(N,v)$ のコアを
$$C(v)=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid x(N)=v(N),\text{and}x(S)\ge v(S)\text{for all}S\subseteq N\}$$
と定め、シャープレイ値 $\phi (v)=({\phi }_1,\dots ,{\phi }_n)$ を
$${\phi }_i=\sum _{S\subseteq N\setminus \{i\}}\frac{|S|!(n-|S|-1)!}{n!}(v(S\cup \{i\})-v(S))(i\in N)$$
で定める。

このとき、コア $C(v)$ が空でないことと、シャープレイ値 $\phi (v)$ が $C(v)$ に属することは同値であることを証明せよ。