ゲーム理論の問題
プレイヤー全体の集合を とする提携形（特性関数形）ゲーム を考える。 は を満たす実数の定数とする。 は のうちの互いに異なるものを表し、特性関数 は次で与えられる。
- 、
- 、
- 、
このゲームのコア を、
を満たし、かつすべての提携 について
を満たす 全体の集合と定める。
コア が空でないような の最大値を 、シャープレイ値 が に属するような の最大値を とする。 をこの順に組 で求めよ。
この問題で使うもの
この問題を解けるようになるまで（19 技能）
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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
コアの条件を不等式として書き出し、全体の和が であることを使って 3 人提携 の条件を 1 人分の上限の条件に言い換えてみよう。シャープレイ値は限界貢献の重み付き平均で計算する。
ヒント 2
は と同値。またシャープレイ値の重みは に対して で、プレイヤー は対称なので同じ値になる。
ヒント 3
からコアの非空条件が決まる。プレイヤー 1 のシャープレイ値は 、他は となる。あとはこれらをコアの各不等式に代入する。
答えと解説
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解説を読む
コアの条件の整理. がコアに属する条件は、 のもとで
- 、
-
-
-
である。 とすると、全体の和が なので は 、すなわち と同値である。よって は「」と同値。
の計算. より なので、 と両立するには が必要。逆に のとき を考えると、、、、、和 をすべて満たすのでコアに属する。よって であり、。
シャープレイ値の計算. のとき、プレイヤー を含まない提携 の重みは で、 に対してそれぞれ である。プレイヤー の限界貢献 は
- ：
- （3 通り）：
- （3 通り）：
- ：
したがって
プレイヤー は対称なので、対称性と全体合理性（効率性）より
の計算. 各条件を確認する（）。
- 、 は常に成り立つ（したがって も成り立つ）。
- ：。常に成立。
- ：。常に成立。
- ：。
よってシャープレイ値がコアに属するのは のときであり、。（実際 のとき で、 となる。）
以上より 。なお ではコアは空でないがシャープレイ値はコアに属さない。
別解
コアの条件を整理する。、、、、。
の計算
- は、残りの 1 人を とすると と同値である。したがって であり、 となる。
- は と同値である。
- したがって が必要である。
- 逆に はすべての条件を満たす（、、）。よって のときコアは空でなく、。
の計算
- 2,3,4 は対称なので である。
- はプレイヤー 1 の限界貢献を提携 の大きさ ごとに集計して求める。重みは である。
- ：貢献 0、重み なので 0。
- ：貢献 6、3 通り、重み なので 。
- ：貢献 、3 通り、重み なので 。
- ：貢献 、重み なので 。
- 合計は 。
- 。
- コアの条件は であった。ほかの条件も確認する。 は と同値であり、 も と同値である。 は と同値で、 より から従う。
- は と同値で、常に成り立つ。
- は 、すなわち より 。
- よって 。
検算： のとき 、。、、 を満たす。
答えは 。