シャープレイ値

プレイヤー集合 $N=\{1,2,3\}$ の提携形ゲーム（特性関数形ゲーム）$v$ が次で与えられている。
$$v(\varnothing )=0,v(\{1\})=1,v(\{2\})=2,v(\{3\})=3,$$
$$v(\{1,2\})=6,v(\{1,3\})=7,v(\{2,3\})=8,v(\{1,2,3\})=12.$$
このゲームにおけるプレイヤー $1$ のシャープレイ値 ${\phi }_1$ を求めよ。

$3$ 人の職人 $1,2,3$ が、協力して作品を作って販売する。協力する職人の集合 $S$ が得られる利益（単位：万円）を $v(S)$ とし、プレイヤー集合 $N=\{1,2,3\}$ の提携形ゲーム（特性関数形ゲーム）$v$ が次で与えられている。
$$v(\varnothing )=0,v(\{1\})=2,v(\{2\})=1,v(\{3\})=0,$$
$$v(\{1,2\})=5,v(\{1,3\})=4,v(\{2,3\})=3,v(\{1,2,3\})=9.$$
このゲームにおける職人 $1$ のシャープレイ値 ${\phi }_1$ を求めよ。

$3$ 人の職人 $1,2,3$ が共同で作品を作って売ることを考える。参加する職人の集合（提携）$S$ が得られる利益を $v(S)$（単位：万円）とし、プレイヤー集合 $N=\{1,2,3\}$ の提携形ゲーム（特性関数形ゲーム）$v$ が次で与えられているとする。
$$v(\varnothing )=0,v(\{1\})=1,v(\{2\})=2,v(\{3\})=3,$$
$$v(\{1,2\})=5,v(\{1,3\})=6,v(\{2,3\})=7,v(\{1,2,3\})=12.$$
このゲームにおける職人 $1$ のシャープレイ値 ${\phi }_1$ を求めよ。

$4$ つの航空会社 $1,2,3,4$ が、共同で $1$ 本の滑走路を建設する。会社 $i$ が使う機体に必要な長さの滑走路を単独で建設すると、その費用は $c_i$（単位：億円）で、
$$c_1=8,c_2=20,c_3=32,c_4=50$$
である。長い滑走路は短い滑走路の用途も兼ねる。そのため、会社の集合 $S\subseteq N=\{1,2,3,4\}$ が共同で建設するときの費用は
$$C(S)=\underset{i\in S}{\max }{c}_i(S\ne \varnothing ),C(\varnothing )=0$$
とする。

この費用ゲーム $(N,C)$ のシャープレイ値 $({\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3,{\phi }_4)$ を求めよ。ただし、各会社 $i$ のシャープレイ値は
$${\phi }_i=\sum _{S\subseteq N\setminus \{i\}}\frac{|S|!(4-|S|-1)!}{4!}(C(S\cup \{i\})-C(S))$$
で定める（各会社の費用負担額を表す）。答えは $({\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3,{\phi }_4)$ の順の組で答えよ。

プレイヤー集合 $N=\{1,2,3\}$ の提携形ゲーム（特性関数形ゲーム）$v$ が
$$v(\varnothing )=0,v(\{1\})=v(\{2\})=v(\{3\})=0,$$
$$v(\{1,2\})=6,v(\{1,3\})=8,v(\{2,3\})=4,v(\{1,2,3\})=12$$
で与えられている。このゲームのシャープレイ値 $({\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3)$ を、この順に組で求めよ。

売り手のプレイヤー $1$ が品物を $1$ 個だけ持っており、プレイヤー $1$ 自身にとってこの品物の価値は $0$ である。買い手のプレイヤー $2,3,4$ はそれぞれこの品物を高々 $1$ 個欲しがっており、品物を手に入れたときの価値はそれぞれ $4,7,10$ である。この状況を、プレイヤー集合 $N=\{1,2,3,4\}$ の提携形ゲーム（特性関数形ゲーム）$v$ として次のように表す。各提携 $S\subseteq N$ に対し、 $$v(S)=\{\begin{array}{ll}\max \{b_j\mid j\in S,j\ne 1\}& (1\in S\text{ かつ }S\ne \{1\})\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$ とする。ここで $b_2=4,b_3=7,b_4=10$ である（$v(\varnothing )=0$）。このゲームのシャープレイ値を $({\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3,{\phi }_4)$ とするとき、この組を求めよ。

ある委員会には $4$ 人の委員 $1,2,3,4$ がおり、それぞれ $4$ 票、$3$ 票、$2$ 票、$1$ 票の票数を持つ（合計 $10$ 票）。議案は、賛成する委員の票数の合計が $6$ 票以上のときに可決される。

プレイヤー集合 $N=\{1,2,3,4\}$ の提携形ゲーム $v$ を、提携 $S\subseteq N$ に属する委員の票数の合計を $w(S)$（$w(\varnothing )=0$）として
$$v(S)=\{\begin{array}{ll}1& (w(S)\ge 6)\\ 0& (w(S)<6)\end{array}$$
で定める。このゲームにおける委員 $1,2,3,4$ のシャープレイ値 ${\varphi }_1,{\varphi }_2,{\varphi }_3,{\varphi }_4$ を求め、組 $({\varphi }_1,{\varphi }_2,{\varphi }_3,{\varphi }_4)$ の形で答えよ。

プレイヤー全体の集合を $N=\{1,2,3,4\}$ とする提携形（特性関数形）ゲーム $(N,v)$ を考える。$t$ は $0\le t\le 12$ を満たす実数の定数とする。$j,k$ は $2,3,4$ のうちの互いに異なるものを表し、特性関数 $v$ は次で与えられる。

• $v(\varnothing )=0$、$v(\{i\})=0(i=1,2,3,4)$
• $v(\{1,j\})=6$、$v(\{j,k\})=0$
• $v(\{1,j,k\})=9$、$v(\{2,3,4\})=t$
• $v(N)=12$

このゲームのコア $C(v)$ を、
$$\sum _{i\in N}{x}_i=v(N)$$
を満たし、かつすべての提携 $S\subseteq N$ について
$$\sum _{i\in S}{x}_i\ge v(S)$$
を満たす $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{R}}^4$ 全体の集合と定める。

コア $C(v)$ が空でないような $t$ の最大値を $t_1$、シャープレイ値 $({\varphi }_1,{\varphi }_2,{\varphi }_3,{\varphi }_4)$ が $C(v)$ に属するような $t$ の最大値を $t_2$ とする。$t_1,t_2$ をこの順に組 $(t_1,t_2)$ で求めよ。

プレイヤー集合 $N=\{1,2,3,4,5\}$ の提携形ゲーム（特性関数形ゲーム）を考える。プレイヤー $1,2$ はそれぞれ左手用の手袋を $1$ 枚ずつ、プレイヤー $3,4,5$ はそれぞれ右手用の手袋を $1$ 枚ずつ持っており、左右 $1$ 枚ずつの組が $1$ つできるごとに価値 $1$ が生まれる。すなわち提携 $S\subseteq N$ に対し、$S$ に含まれる $\{1,2\}$ のプレイヤーの人数を $\ell (S)$、$\{3,4,5\}$ のプレイヤーの人数を $r(S)$ として
$$v(S)=\min \{\ell (S),r(S)\}$$
と定める（$v(\varnothing )=0$）。

配分 $x=(x_1,\dots ,x_5)\in {\mathbb{R}}^5$ のうち、${\sum }_{i\in N}{x}_i=v(N)$ かつすべての提携 $S\subseteq N$ について ${\sum }_{i\in S}{x}_i\ge v(S)$ を満たすもの全体をコアという。このゲームのコアはただ 1 点からなる。そのコアの点の第 1 成分を $c_1$、プレイヤー $1$ のシャープレイ値を ${\phi }_1$ とするとき、$c_1-{\phi }_1$ を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、プレイヤーの集合を $N=\{1,2,\dots ,n\}$ とする。関数 $f:\{0,1,\dots ,n\}\to \mathbb{R}$ は $f(0)=0$ をみたすとし、提携 $S\subseteq N$ の値を $v(S)=f(|S|)$ で定める特性関数形ゲーム $(N,v)$ を考える（$|S|$ は $S$ の要素の個数）。

ベクトル $x=(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$ と $S\subseteq N$ に対し $x(S)={\sum }_{i\in S}{x}_i$（$x(\varnothing )=0$）とおく。$(N,v)$ のコアを
$$C(v)=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid x(N)=v(N),\text{and}x(S)\ge v(S)\text{for all}S\subseteq N\}$$
と定め、シャープレイ値 $\phi (v)=({\phi }_1,\dots ,{\phi }_n)$ を
$${\phi }_i=\sum _{S\subseteq N\setminus \{i\}}\frac{|S|!(n-|S|-1)!}{n!}(v(S\cup \{i\})-v(S))(i\in N)$$
で定める。

このとき、コア $C(v)$ が空でないことと、シャープレイ値 $\phi (v)$ が $C(v)$ に属することは同値であることを証明せよ。