ゲーム理論の問題

シャープレイ値は、プレイヤー全員の並び順 $3!=6$ 通りが同様に確からしいとして、各並び順でプレイヤー $1$ が加わったときの限界貢献 $v(S\cup \{1\})-v(S)$ を平均したものです。ここで $S$ は、その並び順でプレイヤー $1$ より前にいるプレイヤーの集合です。

6 通りの並び順それぞれについて、プレイヤー $1$ の限界貢献を求めます。

• $1,2,3$：$S=\varnothing$ なので $v(\{1\})-v(\varnothing )=1-0=1$
• $1,3,2$：$S=\varnothing$ なので $1-0=1$
• $2,1,3$：$S=\{2\}$ なので $v(\{1,2\})-v(\{2\})=6-2=4$
• $2,3,1$：$S=\{2,3\}$ なので $v(\{1,2,3\})-v(\{2,3\})=12-8=4$
• $3,1,2$：$S=\{3\}$ なので $v(\{1,3\})-v(\{3\})=7-3=4$
• $3,2,1$：$S=\{2,3\}$ なので $12-8=4$

これらを平均すると
$${\phi }_1=\frac{1+1+4+4+4+4}{6}=\frac{18}{6}=3.$$

（確認）公式 ${\phi }_1={\sum }_{S\not\ni 1}\frac{|S|!(3-|S|-1)!}{3!}\{v(S\cup \{1\})-v(S)\}$ を使うと、重みは $|S|=0$ のとき $\frac{0!2!}{6}=\frac{1}{3}$、$|S|=1$ のとき $\frac{1!1!}{6}=\frac{1}{6}$、$|S|=2$ のとき $\frac{2!0!}{6}=\frac{1}{3}$ なので
$${\phi }_1=\frac{1}{3}\cdot 1+\frac{1}{6}\cdot 4+\frac{1}{6}\cdot 4+\frac{1}{3}\cdot 4=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=3$$
となり、一致します。

なお同様にして ${\phi }_2=4,{\phi }_3=5$ が求まり、${\phi }_1+{\phi }_2+{\phi }_3=12=v(N)$ となっていることも確かめられます。

答え：${\phi }_1=3$

シャープレイ値は、プレイヤー1の限界貢献度を全 $3!=6$ 通りの順列で平均して求める。

• 順列 (1,2,3): 1 が最初なので $v(\{1\})-v(\varnothing )=1$
• 順列 (1,3,2): 同様に $1$
• 順列 (2,1,3): $v(\{1,2\})-v(\{2\})=6-2=4$
• 順列 (3,1,2): $v(\{1,3\})-v(\{3\})=7-3=4$
• 順列 (2,3,1): $v(N)-v(\{2,3\})=12-8=4$
• 順列 (3,2,1): $4$

合計は $1+1+4+4+4+4=18$ なので、${\phi }_1=18/6=3$。

別の方法で検算する。公式 ${\phi }_1={\sum }_{S\not\ni 1}\frac{|S|!(2-|S|)!}{3!}(v(S\cup \{1\})-v(S))$ を使う。
- $S=\varnothing$: 重み $\frac{0!2!}{6}=\frac{1}{3}$、貢献度 $1$
- $S=\{2\}$: 重み $\frac{1!1!}{6}=\frac{1}{6}$、貢献度 $4$
- $S=\{3\}$: 重み $\frac{1}{6}$、貢献度 $4$
- $S=\{2,3\}$: 重み $\frac{2!0!}{6}=\frac{1}{3}$、貢献度 $4$

合計は $\frac{1}{3}+\frac{4}{6}+\frac{4}{6}+\frac{4}{3}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=3$ となり、一致する。

念のため全員の値も確認する。プレイヤー2は、順列 (2,1,3),(2,3,1) で $2$、(1,2,3) で $6-1=5$、(3,2,1) で $8-3=5$、(1,3,2) で $12-7=5$、(3,1,2) で $12-7=5$。合計は $2+2+5+5+5+5=24$ で、${\phi }_2=4$。プレイヤー3は $12-3-4=5$。したがって $3+4+5=12=v(N)$ となり、効率性も満たす。