ゲーム理論の問題

プレイヤー集合 $N=\{1,2,3\}$ の提携形ゲーム（特性関数形ゲーム）$v$ が次で与えられている。
$$v(\varnothing )=0,v(\{1\})=1,v(\{2\})=2,v(\{3\})=3,$$
$$v(\{1,2\})=6,v(\{1,3\})=7,v(\{2,3\})=8,v(\{1,2,3\})=12.$$
このゲームにおけるプレイヤー $1$ のシャープレイ値 ${\phi }_1$ を求めよ。

$3$ 人の職人 $1,2,3$ が、協力して作品を作って販売する。協力する職人の集合 $S$ が得られる利益（単位：万円）を $v(S)$ とし、プレイヤー集合 $N=\{1,2,3\}$ の提携形ゲーム（特性関数形ゲーム）$v$ が次で与えられている。
$$v(\varnothing )=0,v(\{1\})=2,v(\{2\})=1,v(\{3\})=0,$$
$$v(\{1,2\})=5,v(\{1,3\})=4,v(\{2,3\})=3,v(\{1,2,3\})=9.$$
このゲームにおける職人 $1$ のシャープレイ値 ${\phi }_1$ を求めよ。

$3$ 人の職人 $1,2,3$ が共同で作品を作って売ることを考える。参加する職人の集合（提携）$S$ が得られる利益を $v(S)$（単位：万円）とし、プレイヤー集合 $N=\{1,2,3\}$ の提携形ゲーム（特性関数形ゲーム）$v$ が次で与えられているとする。
$$v(\varnothing )=0,v(\{1\})=1,v(\{2\})=2,v(\{3\})=3,$$
$$v(\{1,2\})=5,v(\{1,3\})=6,v(\{2,3\})=7,v(\{1,2,3\})=12.$$
このゲームにおける職人 $1$ のシャープレイ値 ${\phi }_1$ を求めよ。

プレイヤー全体の集合を $N=\{1,2,3\}$ とする提携形（特性関数形）ゲーム $(N,v)$ を考える。特性関数 $v$ は次で与えられる。
$$v(\{1\})=v(\{2\})=v(\{3\})=0,v(\{1,2\})=6,v(\{1,3\})=8,v(\{2,3\})=10,v(N)=12$$
利得ベクトル $(x_1,x_2,x_3)$（$x_1,x_2,x_3$ は実数）がコアに属するのは、全体合理性 $x_1+x_2+x_3=v(N)$ と、すべての提携 $S\subseteq N$（$S\ne \varnothing$）に対する提携合理性 ${\sum }_{i\in S}{x}_i\ge v(S)$ を満たすときである。このゲームのコアはただ 1 点からなる。その点 $(x_1,x_2,x_3)$ を求めよ。

プレイヤー全体の集合を $N=\{1,2,3\}$ とする提携形（特性関数形）ゲーム $(N,v)$ を考える。特性関数 $v$ は次で与えられる。
$$v(\{1\})=v(\{2\})=v(\{3\})=0,v(\{1,2\})=8,v(\{1,3\})=6,v(\{2,3\})=5,v(N)=12$$
配分 $(x_1,x_2,x_3)$（$x_1,x_2,x_3$ は実数）がコアに属するとは、全体合理性 $x_1+x_2+x_3=v(N)$ と、空でないすべての提携 $S⊊N$ に対する提携合理性 ${\sum }_{i\in S}{x}_i\ge v(S)$ をみたすことをいう。コアに属する配分全体を考えるとき、プレイヤー $1$ の取り分 $x_1$ の最小値と最大値をこの順に求めよ。