ゲーム理論の問題

売り手のプレイヤー $1$ が品物を $1$ 個だけ持っており、プレイヤー $1$ 自身にとってこの品物の価値は $0$ である。買い手のプレイヤー $2,3,4$ はそれぞれこの品物を高々 $1$ 個欲しがっており、品物を手に入れたときの価値はそれぞれ $4,7,10$ である。この状況を、プレイヤー集合 $N=\{1,2,3,4\}$ の提携形ゲーム（特性関数形ゲーム）$v$ として次のように表す。各提携 $S\subseteq N$ に対し、 $$v(S)=\{\begin{array}{ll}\max \{b_j\mid j\in S,j\ne 1\}& (1\in S\text{ かつ }S\ne \{1\})\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$ とする。ここで $b_2=4,b_3=7,b_4=10$ である（$v(\varnothing )=0$）。このゲームのシャープレイ値を $({\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3,{\phi }_4)$ とするとき、この組を求めよ。

プレイヤー集合 $N=\{1,2,3\}$ の提携形ゲーム（特性関数形ゲーム）$v$ が
$$v(\varnothing )=0,v(\{1\})=v(\{2\})=v(\{3\})=0,$$
$$v(\{1,2\})=6,v(\{1,3\})=8,v(\{2,3\})=4,v(\{1,2,3\})=12$$
で与えられている。このゲームのシャープレイ値 $({\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3)$ を、この順に組で求めよ。

プレイヤー集合 $N=\{1,2,3,4,5\}$ の提携形ゲーム（特性関数形ゲーム）を考える。プレイヤー $1,2$ はそれぞれ左手用の手袋を $1$ 枚ずつ、プレイヤー $3,4,5$ はそれぞれ右手用の手袋を $1$ 枚ずつ持っており、左右 $1$ 枚ずつの組が $1$ つできるごとに価値 $1$ が生まれる。すなわち提携 $S\subseteq N$ に対し、$S$ に含まれる $\{1,2\}$ のプレイヤーの人数を $\ell (S)$、$\{3,4,5\}$ のプレイヤーの人数を $r(S)$ として
$$v(S)=\min \{\ell (S),r(S)\}$$
と定める（$v(\varnothing )=0$）。

配分 $x=(x_1,\dots ,x_5)\in {\mathbb{R}}^5$ のうち、${\sum }_{i\in N}{x}_i=v(N)$ かつすべての提携 $S\subseteq N$ について ${\sum }_{i\in S}{x}_i\ge v(S)$ を満たすもの全体をコアという。このゲームのコアはただ 1 点からなる。そのコアの点の第 1 成分を $c_1$、プレイヤー $1$ のシャープレイ値を ${\phi }_1$ とするとき、$c_1-{\phi }_1$ を求めよ。

プレイヤー全体の集合を $N=\{1,2,3,4\}$ とする提携形（特性関数形）ゲーム $(N,v)$ を考える。$t$ は $0\le t\le 12$ を満たす実数の定数とする。$j,k$ は $2,3,4$ のうちの互いに異なるものを表し、特性関数 $v$ は次で与えられる。

• $v(\varnothing )=0$、$v(\{i\})=0(i=1,2,3,4)$
• $v(\{1,j\})=6$、$v(\{j,k\})=0$
• $v(\{1,j,k\})=9$、$v(\{2,3,4\})=t$
• $v(N)=12$

このゲームのコア $C(v)$ を、
$$\sum _{i\in N}{x}_i=v(N)$$
を満たし、かつすべての提携 $S\subseteq N$ について
$$\sum _{i\in S}{x}_i\ge v(S)$$
を満たす $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{R}}^4$ 全体の集合と定める。

コア $C(v)$ が空でないような $t$ の最大値を $t_1$、シャープレイ値 $({\varphi }_1,{\varphi }_2,{\varphi }_3,{\varphi }_4)$ が $C(v)$ に属するような $t$ の最大値を $t_2$ とする。$t_1,t_2$ をこの順に組 $(t_1,t_2)$ で求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数、$c$ を $1<c<n$ をみたす実数とする。プレイヤー $1,2,\dots ,n$ の $n$ 人が、それぞれ戦略 $s_i\in \{0,1\}$ を同時に選ぶ（$s_i=1$ は「参加する」、$s_i=0$ は「参加しない」を表す）。戦略の組 $s=(s_1,\dots ,s_n)$ に対し、参加者の人数を $m(s)=s_1+s_2+\cdots +s_n$ とし、プレイヤー $i$ の利得を
$$u_i(s)=\{\begin{array}{ll}m(s)-c& (s_i=1)\\ 0& (s_i=0)\end{array}$$
と定める。ここで、戦略の組 $s$ が純粋戦略のナッシュ均衡であるとは、どのプレイヤー $i$ についても、他のプレイヤーの戦略を固定したまま $s_i$ を別の戦略に変えても $u_i$ が真に増加しないことをいう。

このゲームの純粋戦略のナッシュ均衡は、全員が参加しない組 $(0,0,\dots ,0)$ と全員が参加する組 $(1,1,\dots ,1)$ のちょうど $2$ 個であることを証明せよ。