ゲーム理論の問題

$a,b,c,d$ を正の実数とする。プレイヤー 1 は戦略 $U,D$ のどちらかを、プレイヤー 2 は戦略 $L,R$ のどちらかを同時に選ぶ 2 人ゲームを考える。各戦略の組での利得（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）は次のとおりである。
$$(U,L):(a,0),(U,R):(0,c),(D,L):(0,d),(D,R):(b,0)$$
プレイヤー 1 が確率 $p$ で $U$、確率 $1-p$ で $D$ を選び、プレイヤー 2 が確率 $q$ で $L$、確率 $1-q$ で $R$ を選ぶ混合戦略の組を $(p,q)\in [0,1{]}^2$ で表し、2 人は独立に戦略を選ぶとする。$(p,q)$ が混合戦略のナッシュ均衡であるとは、$p$ が $q$ に対してプレイヤー 1 の期待利得を最大にし（$[0,1]$ の中で）、かつ $q$ が $p$ に対してプレイヤー 2 の期待利得を最大にすることをいう。

このゲームの混合戦略のナッシュ均衡はただ 1 つであり、その均衡におけるプレイヤー 1 の期待利得は $\frac{ab}{a+b}$ であることを証明せよ。

$4$ 人のプレイヤー $1,2,3,4$ が、共同の設備を作るために、それぞれ同時に「出資する（$C$）」か「出資しない（$D$）」かを 1 回だけ選ぶ。出資したプレイヤーの人数を $k$（$0\le k\le 4$）とする。

• $k\ge 2$ のとき設備が完成し、$4$ 人全員がそれぞれ $3$ の便益を得る。$k\le 1$ のときは設備は完成せず、便益は $0$ である。
• 出資したプレイヤーは、設備が完成するかどうかにかかわらず費用 $2$ を負担する。

各プレイヤーの利得は（便益）$-$（自分が負担した費用）とする。このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡（4 人の戦略の組）の個数を求めよ。

ある職場で、従業員（プレイヤー 1）は「働く（$W$）」か「怠ける（$S$）」かを、管理者（プレイヤー 2）は「検査する（$I$）」か「検査しない（$N$）」かを、互いの選択を知らずに同時に 1 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりである。各欄の左が従業員の利得、右が管理者の利得である。

$$\begin{array}{ccc}& I& N\\ W& (6,-1)& (6,2)\\ S& (0,-3)& (10,-10)\end{array}$$

このゲームのナッシュ均衡（混合戦略まで含める）はただ 1 つ存在する。この均衡における従業員の期待利得と管理者の期待利得を、この順に組で求めよ。

2 つの企業 1, 2 が、同じ商品の生産量をそれぞれ同時に 1 回だけ選ぶ。企業 1 の生産量を $x$、企業 2 の生産量を $y$ とし、$x,y$ はどちらも $\{0,1,2,\dots ,10\}$ の中から選ぶ（整数値しか選べない）。各企業の利得は
$$u_1(x,y)=x(10-x-y),u_2(x,y)=y(10-x-y)$$
で与えられる（値が負になることもある）。各企業は自分の利得を最大にしようとする。

この 2 人ゲームの純粋戦略のナッシュ均衡 $(x,y)$ の個数を求めよ。

プレイヤー $1$ は戦略 $U,M,D$ のうち $1$ つを、プレイヤー $2$ は戦略 $L,C,R$ のうち $1$ つを、互いの選択を知らずに同時に $1$ 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりである。各欄の $(a,b)$ は、$a$ がプレイヤー $1$ の利得、$b$ がプレイヤー $2$ の利得を表す。

$$\begin{array}{cccc}& L& C& R\\ U& (3,2)& (0,1)& (2,3)\\ M& (1,0)& (2,2)& (1,1)\\ D& (2,3)& (1,0)& (0,2)\end{array}$$

各プレイヤーは自分の利得を最大にしようとする。このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡の個数を求めよ。