ゲーム理論の問題

$2$ 人のプレイヤー $1,2$ が、$10$ 万円の賞金の分け方を次の規則で決める。プレイヤー $1$ は要求額 $x$、プレイヤー $2$ は要求額 $y$（単位は万円）を、互いの選択を知らずに同時に $1$ 回だけ選ぶ。$x,y$ はどちらも $\{0,1,2,\dots ,10\}$ の中から選ぶ。

• $x+y\le 10$ のとき、プレイヤー $1$ は $x$、プレイヤー $2$ は $y$ を受け取る（余りは誰も受け取らない）。
• $x+y>10$ のとき、$2$ 人とも $0$ を受け取る。

各プレイヤーの利得は受け取る金額である。このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡 $(x,y)$ の個数を求めよ。

2 つの企業 1, 2 が、同じ商品の生産量をそれぞれ同時に 1 回だけ選ぶ。企業 1 の生産量を $x$、企業 2 の生産量を $y$ とし、$x,y$ はどちらも $\{0,1,2,\dots ,10\}$ の中から選ぶ（整数値しか選べない）。各企業の利得は
$$u_1(x,y)=x(10-x-y),u_2(x,y)=y(10-x-y)$$
で与えられる（値が負になることもある）。各企業は自分の利得を最大にしようとする。

この 2 人ゲームの純粋戦略のナッシュ均衡 $(x,y)$ の個数を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数、$c$ を $1<c<n$ をみたす実数とする。プレイヤー $1,2,\dots ,n$ の $n$ 人が、それぞれ戦略 $s_i\in \{0,1\}$ を同時に選ぶ（$s_i=1$ は「参加する」、$s_i=0$ は「参加しない」を表す）。戦略の組 $s=(s_1,\dots ,s_n)$ に対し、参加者の人数を $m(s)=s_1+s_2+\cdots +s_n$ とし、プレイヤー $i$ の利得を
$$u_i(s)=\{\begin{array}{ll}m(s)-c& (s_i=1)\\ 0& (s_i=0)\end{array}$$
と定める。ここで、戦略の組 $s$ が純粋戦略のナッシュ均衡であるとは、どのプレイヤー $i$ についても、他のプレイヤーの戦略を固定したまま $s_i$ を別の戦略に変えても $u_i$ が真に増加しないことをいう。

このゲームの純粋戦略のナッシュ均衡は、全員が参加しない組 $(0,0,\dots ,0)$ と全員が参加する組 $(1,1,\dots ,1)$ のちょうど $2$ 個であることを証明せよ。

区別のできる $7$ 人のプレイヤー $1,2,\dots ,7$ が、同時に経路 $A,B,C$ のうちちょうど 1 つを選ぶ。経路 $A,B,C$ を選んだ人数をそれぞれ $a,b,c$（$a+b+c=7$）とするとき、各プレイヤーの費用は
- 経路 $A$ を選んだプレイヤー: $a$
- 経路 $B$ を選んだプレイヤー: $2b$
- 経路 $C$ を選んだプレイヤー: $c+3$

であり、各プレイヤーは自分の費用を最小にしたい。

このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡（7 人それぞれがどの経路を選ぶかの組）の個数を求めよ。

$6$ 人のプレイヤー $1,2,\dots ,6$ が円形に並んでいる。プレイヤー $i$ の隣人はプレイヤー $i-1$ と $i+1$ の $2$ 人である（添字は $6$ を法として考え、プレイヤー $0$ はプレイヤー $6$、プレイヤー $7$ はプレイヤー $1$ とする）。各プレイヤー $i$ は同時に行動 $x_i\in \{0,1\}$ を $1$ つ選ぶ。プレイヤー $i$ の利得は、$2$ 人の隣人のうち自分と異なる行動を選んだ人の数（$0,1,2$ のいずれか）とする。

行動の組 $(x_1,x_2,\dots ,x_6)$ のうち、純粋戦略ナッシュ均衡であるものの個数を求めよ。