ゲーム理論の問題

$4$ 人のプレイヤー $1,2,3,4$ が、共同の設備を作るために、それぞれ同時に「出資する（$C$）」か「出資しない（$D$）」かを 1 回だけ選ぶ。出資したプレイヤーの人数を $k$（$0\le k\le 4$）とする。

• $k\ge 2$ のとき設備が完成し、$4$ 人全員がそれぞれ $3$ の便益を得る。$k\le 1$ のときは設備は完成せず、便益は $0$ である。
• 出資したプレイヤーは、設備が完成するかどうかにかかわらず費用 $2$ を負担する。

各プレイヤーの利得は（便益）$-$（自分が負担した費用）とする。このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡（4 人の戦略の組）の個数を求めよ。

2 人のプレイヤー 1, 2 が、2 つの拠点 $A$, $B$ を争う次の 2 人ゼロ和ゲームを考える。

• プレイヤー 1 は $4$ 部隊、プレイヤー 2 は $3$ 部隊を持ち、それぞれ自分の全部隊を拠点 $A$, $B$ に分けて配置する。各拠点に置く部隊数は $0$ 以上の整数とする。2 人は互いの配置を知らずに同時に $1$ 回だけ配置を決める。
• 各拠点で、置いた部隊数が多いほうがその拠点を獲得し、相手からその拠点の価値に等しい額を受け取る。拠点 $A$ の価値は $2$、拠点 $B$ の価値は $1$ である。部隊数が等しい拠点では支払いは生じない。

プレイヤー 1 が受け取る総額（負の値は支払いを表す）をプレイヤー 1 の利得とし、プレイヤー 2 の利得はその符号を変えたものとする。両プレイヤーとも混合戦略を用いてよいとき、このゲームの値（プレイヤー 1 の期待利得のマックスミニ値、すなわちミニマックス値）を求めよ。

プレイヤー 1, 2 が大きさ $1$ のパイの分け方を、最大 $4$ ラウンドの交互提案で交渉する。

• ラウンド $t=1,3$ ではプレイヤー 1 が、ラウンド $t=2,4$ ではプレイヤー 2 が分配 $(x_1,x_2)$（$x_1\ge 0,x_2\ge 0,x_1+x_2=1$、$x_i$ はプレイヤー $i$ の取り分で実数）を提案する。
• 提案されなかった側のプレイヤーは、その提案を受け入れるか拒否するかを選ぶ。受け入れればその分配で交渉は終わる。拒否すれば次のラウンドに進む。
• ラウンド $4$ の提案も拒否された場合、2 人の利得はともに $0$ である。
• ラウンド $t$ で分配 $(x_1,x_2)$ に合意したとき、プレイヤー $i$ の利得は ${\delta }_i^{t-1}{x}_i$ である。ここで ${\delta }_1=\frac{2}{3},{\delta }_2=\frac{1}{2}$ とする。

各プレイヤーは、受け入れても拒否しても利得が等しいときは受け入れるものとする。このゲームの部分ゲーム完全均衡において、ラウンド $1$ で合意される分配 $(x_1,x_2)$ を求めよ。

プレイヤー 1 は行 $R_1,R_2,R_3$ のどれかを、プレイヤー 2 は列 $C_1,C_2$ のどちらかを、互いの選択を知らずに同時に選ぶ 2 人ゼロ和ゲームを考える。プレイヤー 1 が受け取る利得（プレイヤー 2 が支払う額）は次の表のとおりである。

両プレイヤーが混合戦略を使えるとき、このゲームの値（プレイヤー 1 の期待利得のマックスミニ値）を求めよ。

プレイヤー $1$ は戦略 $U,M,D$ のうち $1$ つを、プレイヤー $2$ は戦略 $L,C,R$ のうち $1$ つを、互いの選択を知らずに同時に $1$ 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりである。各欄の $(a,b)$ は、$a$ がプレイヤー $1$ の利得、$b$ がプレイヤー $2$ の利得を表す。

$$\begin{array}{cccc}& L& C& R\\ U& (3,2)& (0,1)& (2,3)\\ M& (1,0)& (2,2)& (1,1)\\ D& (2,3)& (1,0)& (0,2)\end{array}$$

各プレイヤーは自分の利得を最大にしようとする。このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡の個数を求めよ。