ゲーム理論の問題

プレイヤー 1 は行 $\mathrm{I},\mathrm{II}$ のどちらかを、プレイヤー 2 は列 $a,b,c$ のどれかを同時に選ぶ 2 人ゼロ和ゲームを考える。プレイヤー 1 が受け取る利得（プレイヤー 2 が支払う額）は次の行列で与えられる。

両プレイヤーとも混合戦略を用いることができるとき、このゲームの値（プレイヤー 1 の期待利得のマックスミニ値）を求めよ。

プレイヤー 1 は行 $U,D$ のどちらかを、プレイヤー 2 は列 $L,R$ のどちらかを、互いの選択を知らずに同時に選ぶ 2 人ゼロ和ゲームを考える。プレイヤー 1 が受け取る利得（プレイヤー 2 が支払う額）は次の利得行列で与えられる。
$$\begin{array}{ccc}& L& R\\ U& 3& -1\\ D& -2& 4\end{array}$$
両プレイヤーは混合戦略を使ってよいものとする。このゲームの値（プレイヤー 1 の期待利得の ${\max }_p\min$ の値）を求めよ。

プレイヤー 1 は $1$ 枚の硬貨を箱 $A$、箱 $B$ のどちらかに隠し、プレイヤー 2 は硬貨がどちらの箱にあるかを当てる。2 人は互いの選択を知らずに同時に選ぶ。お金のやりとりは次のとおりとする。

• 硬貨が $A$ にあり、プレイヤー 2 が $A$ と答えた（当たり）: プレイヤー 1 がプレイヤー 2 に $3$ 円払う。
• 硬貨が $A$ にあり、プレイヤー 2 が $B$ と答えた（はずれ）: プレイヤー 2 がプレイヤー 1 に $2$ 円払う。
• 硬貨が $B$ にあり、プレイヤー 2 が $A$ と答えた（はずれ）: プレイヤー 2 がプレイヤー 1 に $1$ 円払う。
• 硬貨が $B$ にあり、プレイヤー 2 が $B$ と答えた（当たり）: プレイヤー 1 がプレイヤー 2 に $1$ 円払う。

これをプレイヤー 1 の利得（円）を成分とする 2 人ゼロ和ゲームとみなし、両プレイヤーが混合戦略を使えるとする。このゲームの値（プレイヤー 1 の利得の期待値に関するミニマックス値）を求めよ。

プレイヤー 1 は戦略 $U$ か $D$ を、プレイヤー 2 は戦略 $L$ か $R$ を、互いの選択を知らずに同時に 1 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりである。各欄は（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）を表す。

このゲームには純粋戦略ナッシュ均衡がなく、混合戦略ナッシュ均衡がただ 1 つある。その均衡で、プレイヤー 1 が $U$ を選ぶ確率を $p$、プレイヤー 2 が $L$ を選ぶ確率を $q$ とする。$(p,q)$ をこの順に求めよ。

プレイヤー 1 は戦略 $U$ か $D$ を、プレイヤー 2 は戦略 $L$ か $R$ を、互いの選択を知らずに同時に 1 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりである。各欄の $(a,b)$ は、$a$ がプレイヤー 1 の利得、$b$ がプレイヤー 2 の利得を表す。

このゲームには純粋戦略ナッシュ均衡がなく、混合戦略ナッシュ均衡がただ 1 つ存在する。その均衡で、プレイヤー 1 が $U$ を選ぶ確率を $p$、プレイヤー 2 が $L$ を選ぶ確率を $q$ とする。$(p,q)$ をこの順に組で求めよ。