ゲーム理論の問題

プレイヤー 1 は行 $R_1,R_2,R_3$ のどれかを、プレイヤー 2 は列 $C_1,C_2$ のどちらかを、互いの選択を知らずに同時に選ぶ 2 人ゼロ和ゲームを考える。プレイヤー 1 が受け取る利得（プレイヤー 2 が支払う額）は次の表のとおりである。

両プレイヤーが混合戦略を使えるとき、このゲームの値（プレイヤー 1 の期待利得のマックスミニ値）を求めよ。

プレイヤー 1 は行 $U,D$ のどちらかを、プレイヤー 2 は列 $L,R$ のどちらかを、互いの選択を知らずに同時に選ぶ 2 人ゼロ和ゲームを考える。プレイヤー 1 が受け取る利得（プレイヤー 2 が支払う額）は次の利得行列で与えられる。
$$\begin{array}{ccc}& L& R\\ U& 3& -1\\ D& -2& 4\end{array}$$
両プレイヤーは混合戦略を使ってよいものとする。このゲームの値（プレイヤー 1 の期待利得の ${\max }_p\min$ の値）を求めよ。

プレイヤー 1 は $1$ 枚の硬貨を箱 $A$、箱 $B$ のどちらかに隠し、プレイヤー 2 は硬貨がどちらの箱にあるかを当てる。2 人は互いの選択を知らずに同時に選ぶ。お金のやりとりは次のとおりとする。

• 硬貨が $A$ にあり、プレイヤー 2 が $A$ と答えた（当たり）: プレイヤー 1 がプレイヤー 2 に $3$ 円払う。
• 硬貨が $A$ にあり、プレイヤー 2 が $B$ と答えた（はずれ）: プレイヤー 2 がプレイヤー 1 に $2$ 円払う。
• 硬貨が $B$ にあり、プレイヤー 2 が $A$ と答えた（はずれ）: プレイヤー 2 がプレイヤー 1 に $1$ 円払う。
• 硬貨が $B$ にあり、プレイヤー 2 が $B$ と答えた（当たり）: プレイヤー 1 がプレイヤー 2 に $1$ 円払う。

これをプレイヤー 1 の利得（円）を成分とする 2 人ゼロ和ゲームとみなし、両プレイヤーが混合戦略を使えるとする。このゲームの値（プレイヤー 1 の利得の期待値に関するミニマックス値）を求めよ。

$a,b,c,d$ を正の実数とする。プレイヤー 1 は戦略 $U,D$ のどちらかを、プレイヤー 2 は戦略 $L,R$ のどちらかを同時に選ぶ 2 人ゲームを考える。各戦略の組での利得（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）は次のとおりである。
$$(U,L):(a,0),(U,R):(0,c),(D,L):(0,d),(D,R):(b,0)$$
プレイヤー 1 が確率 $p$ で $U$、確率 $1-p$ で $D$ を選び、プレイヤー 2 が確率 $q$ で $L$、確率 $1-q$ で $R$ を選ぶ混合戦略の組を $(p,q)\in [0,1{]}^2$ で表し、2 人は独立に戦略を選ぶとする。$(p,q)$ が混合戦略のナッシュ均衡であるとは、$p$ が $q$ に対してプレイヤー 1 の期待利得を最大にし（$[0,1]$ の中で）、かつ $q$ が $p$ に対してプレイヤー 2 の期待利得を最大にすることをいう。

このゲームの混合戦略のナッシュ均衡はただ 1 つであり、その均衡におけるプレイヤー 1 の期待利得は $\frac{ab}{a+b}$ であることを証明せよ。

2 人のプレイヤー 1, 2 が、2 つの拠点 $A$, $B$ を争う次の 2 人ゼロ和ゲームを考える。

• プレイヤー 1 は $4$ 部隊、プレイヤー 2 は $3$ 部隊を持ち、それぞれ自分の全部隊を拠点 $A$, $B$ に分けて配置する。各拠点に置く部隊数は $0$ 以上の整数とする。2 人は互いの配置を知らずに同時に $1$ 回だけ配置を決める。
• 各拠点で、置いた部隊数が多いほうがその拠点を獲得し、相手からその拠点の価値に等しい額を受け取る。拠点 $A$ の価値は $2$、拠点 $B$ の価値は $1$ である。部隊数が等しい拠点では支払いは生じない。

プレイヤー 1 が受け取る総額（負の値は支払いを表す）をプレイヤー 1 の利得とし、プレイヤー 2 の利得はその符号を変えたものとする。両プレイヤーとも混合戦略を用いてよいとき、このゲームの値（プレイヤー 1 の期待利得のマックスミニ値、すなわちミニマックス値）を求めよ。