ゲーム理論の問題

手順 1：鞍点があるか調べる。

各行の最小値は、$U$ 行が $\min (3,-1)=-1$、$D$ 行が $\min (-2,4)=-2$ である。したがってマックスミニ値は $\max (-1,-2)=-1$ である。

各列の最大値は、$L$ 列が $\max (3,-2)=3$、$R$ 列が $\max (-1,4)=4$ である。したがってミニマックス値は $\min (3,4)=3$ である。

マックスミニ値 $-1$ とミニマックス値 $3$ は一致しない。よって鞍点はなく、純粋戦略だけではゲームの値は決まらない。そこで混合戦略を考える。

手順 2：プレイヤー 1 の期待利得を $p$ の 1 次式で表す。

プレイヤー 1 が $U$ を確率 $p$、$D$ を確率 $1-p$ $(0\le p\le 1)$ で選ぶとする。このとき、プレイヤー 2 の各列に対するプレイヤー 1 の期待利得は次のとおりである。
$$L\text{ に対して}:3p+(-2)(1-p)=5p-2$$
$$R\text{ に対して}:(-1)p+4(1-p)=4-5p$$

手順 3：下側の包絡線を最大化する。

プレイヤー 2 は、プレイヤー 1 の期待利得が小さくなる列を選ぶ。そのためプレイヤー 1 が保証できる期待利得は $\min (5p-2,4-5p)$ となる。これは 2 直線の下側の包絡線である。

$5p-2$ は $p$ について増加し、$4-5p$ は減少する。よって包絡線が最大になるのは 2 直線の交点である。
$$5p-2=4-5p⟹10p=6⟹p=\frac{3}{5}$$
これは $0\le p\le 1$ を満たす。このときの値は
$$5\cdot \frac{3}{5}-2=1$$
である。

確認：プレイヤー 2 の側からも同じ値になる。

プレイヤー 2 が $L$ を確率 $q$ で選ぶとする。$U$ 行の期待利得は $3q-(1-q)=4q-1$、$D$ 行の期待利得は $-2q+4(1-q)=4-6q$ である。上側の包絡線 $\max (4q-1,4-6q)$ を最小にするのは $4q-1=4-6q$ のときで、$q=\frac{1}{2}$ となる。このときの値は $4\cdot \frac{1}{2}-1=1$ である。${\max }_p\min$ と ${\min }_q\max$ が一致するので、確かに値は $1$ である。

よって、このゲームの値は $1$ である（プレイヤー 1 の最適混合戦略は $U$ を確率 $\frac{3}{5}$、プレイヤー 2 の最適混合戦略は $L$ を確率 $\frac{1}{2}$）。

純粋戦略の鞍点があるか確認する。行の最小値は U が $-1$、D が $-2$ なので maximin は $-1$。列の最大値は L が $3$、R が $4$ なので minimax は $3$。両者が異なるので鞍点はなく、混合戦略が必要。

プレイヤー 1 が U を確率 $p$、D を確率 $1-p$ で選ぶとする。
- 2 が L を選ぶときの期待利得: $3p-2(1-p)=5p-2$
- 2 が R を選ぶときの期待利得: $-p+4(1-p)=4-5p$

1 は $\min (5p-2,4-5p)$ を最大化する。$5p-2$ は増加、$4-5p$ は減少なので、交点で最大になる。
$5p-2=4-5p$ より $p=\frac{3}{5}$。このとき値は $5\cdot \frac{3}{5}-2=1$。

検算（プレイヤー 2 側）: L を確率 $q$、R を確率 $1-q$ で選ぶとする。
- 1 が U を選ぶときの期待利得: $3q-(1-q)=4q-1$
- 1 が D を選ぶときの期待利得: $-2q+4(1-q)=4-6q$

$4q-1=4-6q$ より $q=\frac{1}{2}$。値は $4\cdot \frac{1}{2}-1=1$。

両側の値が一致するので、ゲームの値は $1$。

公式による確認: $\frac{ad-bc}{a+d-b-c}=\frac{3\cdot 4-(-1)(-2)}{3+4+1+2}=\frac{10}{10}=1$。これも一致する。