ゲーム理論の問題

手順 1: プレイヤー 2 の強く支配される戦略を消去する。

プレイヤー 2 の利得を、列 $Z$ と列 $X$ で行ごとに比べる。

• $U$ のとき: $Z$ は $0$、$X$ は $1$ で、$0<1$
• $M$ のとき: $Z$ は $1$、$X$ は $3$ で、$1<3$
• $D$ のとき: $Z$ は $0$、$X$ は $2$ で、$0<2$

どの行でも $X$ の方が利得が大きいので、$Z$ は $X$ に強く支配される。よって $Z$ を消去する。

手順 2: プレイヤー 1 の強く支配される戦略を消去する（混合戦略による支配）。

$D$ は純粋戦略 $U$ にも $M$ にも支配されない。実際、$Y$ に対しては $D$ の $1$ が $U$ の $0$ より大きく、$X$ に対しては $D$ の $1$ が $M$ の $0$ より大きい。

そこで、$U$ を確率 $\alpha$、$M$ を確率 $1-\alpha$ で混ぜた混合戦略と比べる。この混合戦略の期待利得は次のとおりである。

• $X$ に対して: $3\alpha$
• $Y$ に対して: $2(1-\alpha )$
• $Z$ に対して: $2\alpha +(1-\alpha )=1+\alpha$

$D$ の利得は $X$ に対して $1$、$Y$ に対して $1$、$Z$ に対して $0$ である。$D$ が強く支配されるための条件は
$$3\alpha >1,2(1-\alpha )>1,1+\alpha >0$$
であり、$\frac{1}{3}<\alpha <\frac{1}{2}$ なら成り立つ。たとえば $\alpha =\frac{2}{5}$ のとき、期待利得は $X,Y,Z$ に対してそれぞれ $\frac{6}{5},\frac{6}{5},\frac{7}{5}$ となり、$D$ の $1,1,0$ をすべて上回る。よって $D$ は混合戦略に強く支配されるので、消去する。

残る $2\times 2$ ゲームは次のとおりである。
$$\begin{array}{ccc}& X& Y\\ U& (3,1)& (0,3)\\ M& (0,3)& (2,0)\end{array}$$
この表ではどちらのプレイヤーにも強く支配される戦略はない。

手順 3: 支持を絞り込む。

純粋戦略の組を 4 つとも確かめる。

• $(U,X)$: プレイヤー 2 は $Y$ に変えると $3>1$ で得をする
• $(U,Y)$: プレイヤー 1 は $M$ に変えると $2>0$ で得をする
• $(M,Y)$: プレイヤー 2 は $X$ に変えると $3>0$ で得をする
• $(M,X)$: プレイヤー 1 は $U$ に変えると $3>0$ で得をする

どの組でも誰かが逸脱するので、純粋戦略ナッシュ均衡はない。次に、片方だけが純粋戦略をとる場合を考える。相手が純粋戦略なら自分の最適反応はただ 1 つに決まり、上の確認と同じく逸脱が起こる。したがって均衡の支持は $\{U,M\}\times \{X,Y\}$ で、両者とも 2 つの戦略を混ぜる。

手順 4: 無差別条件から確率を求める。

プレイヤー 1 が $U$ を選ぶ確率を $p$ とする。プレイヤー 2 の期待利得は
$$X:1\cdot p+3(1-p)=3-2p,Y:3p+0\cdot (1-p)=3p$$
である。プレイヤー 2 が $X$ と $Y$ を混ぜるには両者が等しくなければならないので、$3-2p=3p$ より $p=\frac{3}{5}$ となる。このときのプレイヤー 2 の期待利得は $3\cdot \frac{3}{5}=\frac{9}{5}$ である。

プレイヤー 2 が $X$ を選ぶ確率を $q$ とする。プレイヤー 1 の期待利得は
$$U:3q,M:2(1-q)$$
である。両者が等しいことから $3q=2-2q$ となり、$q=\frac{2}{5}$ を得る。このときのプレイヤー 1 の期待利得は $3\cdot \frac{2}{5}=\frac{6}{5}$ である。

手順 5: 消去した戦略へ逸脱しないことを確かめる。

• プレイヤー 1 が $D$ に変えた場合: 期待利得は $1\cdot \frac{2}{5}+1\cdot \frac{3}{5}=1$ で、$1<\frac{6}{5}$ なので得をしない。
• プレイヤー 2 が $Z$ に変えた場合: 期待利得は $0\cdot \frac{3}{5}+1\cdot \frac{2}{5}=\frac{2}{5}$ で、$\frac{2}{5}<\frac{9}{5}$ なので得をしない。

以上より、均衡はプレイヤー 1 が $U,M,D$ をそれぞれ確率 $\frac{3}{5},\frac{2}{5},0$ で、プレイヤー 2 が $X,Y,Z$ をそれぞれ確率 $\frac{2}{5},\frac{3}{5},0$ で選ぶものである。求める期待利得の組は
$$\left(\frac{6}{5},\frac{9}{5}\right)$$
である。

まず強く支配される戦略を消去する。

1. プレイヤー 2 では、$Z$ の利得は $(0,1,0)$、$X$ の利得は $(1,3,2)$（行 $U,M,D$ の順）。どの行でも $X$ の方が大きいので、$Z$ は $X$ に強く支配される。$Z$ を消去する。
2. 残った列 $X,Y$ で、プレイヤー 1 の利得は $U:(3,0)$、$M:(0,2)$、$D:(1,1)$。$U$ を確率 $0.4$、$M$ を確率 $0.6$ で混ぜると、$X$ に対して $1.2$、$Y$ に対して $1.2$ で、どちらも $D$ の利得 $1$ より大きい。よって $D$ は混合戦略に強く支配される。$D$ を消去する。
3. 残った $2\times 2$ ゲームは次のとおり。
- $U$: $(3,1)$, $(0,3)$
- $M$: $(0,3)$, $(2,0)$
純粋戦略の均衡はないので、混合均衡を求める。

プレイヤー 1 が $U$ を確率 $p$ で選ぶとする。プレイヤー 2 の期待利得は、$X$ が $p+3(1-p)=3-2p$、$Y$ が $3p$。これらが等しいとして $3-2p=3p$ より $p=3/5$。このときプレイヤー 2 の期待利得は $9/5$。

プレイヤー 2 が $X$ を確率 $q$ で選ぶとする。プレイヤー 1 の期待利得は、$U$ が $3q$、$M$ が $2(1-q)$。これらが等しいとして $3q=2-2q$ より $q=2/5$。このときプレイヤー 1 の期待利得は $6/5$。

検算として、消去した戦略がこの均衡で得にならないことを確かめる。
- $D$ の期待利得は $1<6/5$。
- $Z$ の期待利得は、$U$ を $3/5$、$M$ を $2/5$ の確率で選ぶ相手に対して $0\cdot 3/5+1\cdot 2/5=2/5<9/5$。

よって均衡は $(3/5U+2/5M,2/5X+3/5Y)$ で、期待利得は $(6/5,9/5)$。