ゲーム理論の問題

手順 1：強く支配される戦略の消去

(i) プレイヤー 2 の戦略 $Z$ と $Y$ を比べる。プレイヤー 2 の利得は、相手が $U,M,D$ のとき
$$Y:(2,1,3),Z:(1,0,1)$$
で、どの場合も $Y$ のほうが真に大きい。よって $Z$ は $Y$ に強く支配されるので消去する。

（なお、この段階では $D$ は消去できない。$Z$ の列で $D$ の利得 $4$ は $U,M$ の利得 $0,1$ のどんな混合よりも大きいからである。）

(ii) $Z$ を消去した後、プレイヤー 1 の利得は相手が $X,Y$ のとき
$$U:(3,0),M:(0,2),D:(1,1)$$
である。$D$ は $U$ にも $M$ にも純粋戦略としては支配されない（$Y$ に対しては $U$ より大きく、$X$ に対しては $M$ より大きい）。そこで $U$ を確率 $t$、$M$ を確率 $1-t$ で選ぶ混合戦略と比べると、その期待利得は
$$X\text{ に対して }3t,Y\text{ に対して }2(1-t)$$
である。$3t>1$ かつ $2-2t>1$、すなわち $\frac{1}{3}<t<\frac{1}{2}$ ならどちらも $D$ の利得 $1$ を上回る。たとえば $t=\frac{2}{5}$ とすると $(\frac{6}{5},\frac{6}{5})$ となり、$D$ は混合戦略 $\frac{2}{5}U+\frac{3}{5}M$ に強く支配される。よって $D$ を消去する。

残ったゲームは次の $2\times 2$ ゲームである。
$$\begin{array}{ccc}& X& Y\\ U& (3,0)& (0,2)\\ M& (0,3)& (2,1)\end{array}$$
これ以上強く支配される戦略はない。強く支配される戦略を消去してもナッシュ均衡の集合は変わらないので、このゲームの均衡を求めればよい。

手順 2：支持の絞り込み

純粋戦略の組を調べると、$(U,X)$ ではプレイヤー 2 が $Y$ に、$(U,Y)$ ではプレイヤー 1 が $M$ に、$(M,Y)$ ではプレイヤー 2 が $X$ に、$(M,X)$ ではプレイヤー 1 が $U$ に変えると得をする。よって純粋戦略ナッシュ均衡はない。

また、一方が純粋戦略をとると相手の最適反応はただ 1 つに決まり、上と同じ理由で均衡にならない。したがって両者とも 2 つの戦略に正の確率を置く（支持が $\{U,M\}$ と $\{X,Y\}$）均衡を探す。

手順 3：無差別条件

プレイヤー 1 が $U$ を確率 $p$、$M$ を確率 $1-p$ で選ぶとき、プレイヤー 2 の期待利得は
$$X:0\cdot p+3(1-p)=3-3p,Y:2p+1\cdot (1-p)=1+p.$$
プレイヤー 2 が両方に正の確率を置くには両者が等しい必要があるので、$3-3p=1+p$ より $p=\frac{1}{2}$。

プレイヤー 2 が $X$ を確率 $q$、$Y$ を確率 $1-q$ で選ぶとき、プレイヤー 1 の期待利得は
$$U:3q,M:2(1-q).$$
$3q=2-2q$ より $q=\frac{2}{5}$。

手順 4：逸脱しない条件の確認（元の $3\times 3$ ゲームで）

プレイヤー 2 が $(X,Y,Z)=(\frac{2}{5},\frac{3}{5},0)$ のとき、プレイヤー 1 の期待利得は
$$U:\frac{6}{5},M:\frac{6}{5},D:1\cdot \frac{2}{5}+1\cdot \frac{3}{5}=1<\frac{6}{5}.$$
プレイヤー 1 が $(U,M,D)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$ のとき、プレイヤー 2 の期待利得は
$$X:\frac{3}{2},Y:\frac{3}{2},Z:1\cdot \frac{1}{2}+0\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}<\frac{3}{2}.$$
どちらも支持の外の戦略に変えても得をしないので、これがナッシュ均衡である。

手順 5：期待利得

プレイヤー 1 の期待利得は $3q=3\cdot \frac{2}{5}=\frac{6}{5}$、プレイヤー 2 の期待利得は $3-3p=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。

答え：$\left(\frac{6}{5},\frac{3}{2}\right)$

【支配される戦略の消去】
プレイヤー 2 について、Y と Z を比べる。U の行で 2>1、M の行で 1>0、D の行で 3>1 だから、Y は Z を強く支配する。よって Z を消去する。

残った 3×2 のゲームでプレイヤー 1 の利得は U:(3,0), M:(0,2), D:(1,1)（列は X, Y の順）。U を確率 $p$、M を確率 $1-p$ で混ぜると、利得は X に対して $3p$、Y に対して $2(1-p)$ となる。$p=0.4$ のときは 1.2 と 1.2 で、どちらも D の利得 1 より大きい。よって D は混合戦略に強く支配されるので消去する。

【2×2 ゲーム】
プレイヤー 1 は U, M、プレイヤー 2 は X, Y を選ぶ。
- U: (3,0), (0,2)
- M: (0,3), (2,1)

純粋戦略のナッシュ均衡はない。(U,X) では 2 が Y に変えると 0→2 と得をする。(U,Y) では 1 が M に変えると 0→2 と得をする。(M,X) では 1 が U に変えると 0→3 と得をする。(M,Y) では 2 が X に変えると 1→3 と得をする。したがって混合戦略の均衡を求める。

プレイヤー 1 が U を確率 $p$ で選ぶとき、プレイヤー 2 の期待利得は X で $3(1-p)$、Y で $2p+(1-p)=1+p$。無差別とすると $3-3p=1+p$ より $p=1/2$。

プレイヤー 2 が X を確率 $q$ で選ぶとき、プレイヤー 1 の期待利得は U で $3q$、M で $2(1-q)$。無差別とすると $3q=2-2q$ より $q=2/5$。

【均衡の利得】
- プレイヤー 1: $3q=6/5$
- プレイヤー 2: $1+p=3/2$

【検算】
元の 3×3 ゲームで、均衡は 1 が (1/2, 1/2, 0)、2 が (2/5, 3/5, 0) である。
- 2 が Z を選ぶと、利得は $\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 0=0.5<1.5$ となり得をしない。
- 1 が D を選ぶと、利得は $\frac{2}{5}\cdot 1+\frac{3}{5}\cdot 1=1<1.2$ となり得をしない。

以上より、均衡における期待利得は $(6/5,3/2)$。