ゲーム理論の問題
プレイヤー 1 は行 のどちらかを、プレイヤー 2 は列 のどれかを、互いの選択を知らずに同時に選ぶ 2 人ゲーム（非ゼロ和）を考える。各組の利得は次の表のとおりで、各成分は (プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得) を表す。
両プレイヤーは混合戦略を用いることができ、各プレイヤーは自分の期待利得を最大にしようとする。このゲームの混合戦略まで含めたナッシュ均衡はただ 1 つである。その均衡におけるプレイヤー 1 の期待利得とプレイヤー 2 の期待利得を、この順に組で求めよ。
この問題で使うもの
- 支配戦略の消去と支持の絞り込みによる混合均衡（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（10 技能）
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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
プレイヤー 1 が を選ぶ確率を とおき、プレイヤー 2 の 3 つの列の期待利得を の関数として比べて、 の値ごとにプレイヤー 2 の最適反応を求めよう。
ヒント 2
、、 となる。最適反応が 2 つの列にまたがる の値（境目）でしか、プレイヤー 1 が混合する均衡は起こりえない。
ヒント 3
境目は （ と ）と （ と ）。 では が常に良いので不適。 でプレイヤー 2 が を確率 で選ぶとき、プレイヤー 1 の無差別条件 を解こう。
答えと解説
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解説を読む
プレイヤー 1 が を確率 、 を確率 で選ぶとする（）。
プレイヤー 2 の最適反応. 各列の期待利得は
と の比較: 。 と の比較: 。 と の比較: 。よってプレイヤー 2 の最適反応は
- のとき のみ、
- のとき と （このとき は で劣る）、
- のとき のみ、
- のとき と （このとき は で劣る）、
- のとき のみ。
ナッシュ均衡では、プレイヤー 2 は最適反応となる純粋戦略だけに正の確率をおく。各場合を調べる。
(1) : プレイヤー 2 は を選ぶ。 に対するプレイヤー 1 の利得は で 、 で なので最適反応は となり矛盾。
(2) : プレイヤー 2 は を選ぶ。 に対して は 、 は なので となり矛盾。
(3) : プレイヤー 2 は を選ぶ。 に対して は 、 は なので となり矛盾。
(4) : プレイヤー 2 は を確率 、 を確率 で選ぶ。プレイヤー 1 の期待利得は で 、 で 。 より常に が真に良く となり、 と矛盾。
(5) : プレイヤー 2 は を確率 、 を確率 で選ぶ。 なのでプレイヤー 1 は と で無差別でなければならない。
より 。これは を満たすので均衡になる。
したがって唯一のナッシュ均衡は、プレイヤー 1 が を 、 を 、プレイヤー 2 が を 、 を 、 を の確率で選ぶものである。
期待利得. プレイヤー 1 は無差別なので 。プレイヤー 2 は と で無差別で、（ とも一致）。
よって答えは 。
別解
プレイヤー 1 が T を確率 、プレイヤー 2 が (L, C, R) を確率 で選ぶとする。
プレイヤー 2 の期待利得は、L が 、C が 、R が である。
プレイヤー 1 の期待利得は、T が 、B が である。
各サポートを調べる。
- サポートが {L, C} の場合：L と C の利得が等しくなるのは のときで、利得は 2。このとき R は で、より大きいので成立しない。
- サポートが {L, R} の場合： より 。このとき なので、プレイヤー 1 が無差別になる条件は 、すなわち 。これは と両立しないので成立しない。
- サポートが {C, R} の場合： より 。このとき C と R の利得は 、L は で小さいので条件を満たす。プレイヤー 1 が無差別になる条件は 。 と合わせて 。このとき T も B も で無差別になる。
よって均衡は、プレイヤー 1 が 、プレイヤー 2 が である。
期待利得は、プレイヤー 1 が 、プレイヤー 2 が 。
検算：
- プレイヤー 1 の利得は 、 で一致する。
- プレイヤー 2 の利得は 、、 で、L は最適でない。