ゲーム理論の問題

純粋戦略ナッシュ均衡とは、どちらのプレイヤーも、相手の戦略を固定したとき自分の戦略が最適反応（利得が最大になる戦略）になっている戦略の組である。各プレイヤーの最適反応に印をつけ、両方の印がついた欄を探す。

手順 1：プレイヤー 1 の最適反応（列ごとに第 1 成分を比べる）

• 相手が $L$ のとき：$U$ は $3$、$M$ は $1$、$D$ は $2$。最大は $3$ なので最適反応は $U$。
• 相手が $C$ のとき：$U$ は $0$、$M$ は $2$、$D$ は $1$。最大は $2$ なので最適反応は $M$。
• 相手が $R$ のとき：$U$ は $2$、$M$ は $1$、$D$ は $0$。最大は $2$ なので最適反応は $U$。

よって印がつくのは $(U,L),(M,C),(U,R)$ の欄のプレイヤー 1 の利得である。

手順 2：プレイヤー 2 の最適反応（行ごとに第 2 成分を比べる）

• 相手が $U$ のとき：$L$ は $2$、$C$ は $1$、$R$ は $3$。最大は $3$ なので最適反応は $R$。
• 相手が $M$ のとき：$L$ は $0$、$C$ は $2$、$R$ は $1$。最大は $2$ なので最適反応は $C$。
• 相手が $D$ のとき：$L$ は $3$、$C$ は $0$、$R$ は $2$。最大は $3$ なので最適反応は $L$。

よって印がつくのは $(U,R),(M,C),(D,L)$ の欄のプレイヤー 2 の利得である。

手順 3：両方に印がついた欄を探す

手順 1 の $\{(U,L),(M,C),(U,R)\}$ と手順 2 の $\{(U,R),(M,C),(D,L)\}$ の両方に含まれるのは $(U,R)$ と $(M,C)$ である。

• $(U,R)$：プレイヤー 1 は $R$ に対して $U$ が最適、プレイヤー 2 は $U$ に対して $R$ が最適。
• $(M,C)$：プレイヤー 1 は $C$ に対して $M$ が最適、プレイヤー 2 は $M$ に対して $C$ が最適。

なお $(D,L)$ はプレイヤー 2 にとっては最適反応だが、プレイヤー 1 は $L$ に対して $U$ に変えると利得が $2$ から $3$ に増えるので均衡ではない。

したがって純粋戦略ナッシュ均衡は $(U,R),(M,C)$ の $2$ 個である。

各プレイヤーの最適反応を調べる。

プレイヤー1の最適反応（相手の戦略ごと）:
- 相手が $L$: 利得は $U=3,M=1,D=2$ なので $U$
- 相手が $C$: 利得は $U=0,M=2,D=1$ なので $M$
- 相手が $R$: 利得は $U=2,M=1,D=0$ なので $U$

プレイヤー2の最適反応（相手の戦略ごと）:
- 相手が $U$: 利得は $L=2,C=1,R=3$ なので $R$
- 相手が $M$: 利得は $L=0,C=2,R=1$ なので $C$
- 相手が $D$: 利得は $L=3,C=0,R=2$ なので $L$

互いに最適反応になっている組を探す。
- $(U,R)$: 1は $R$ に対し $U$、2は $U$ に対し $R$ なので均衡。
- $(M,C)$: 1は $C$ に対し $M$、2は $M$ に対し $C$ なので均衡。
- $(D,L)$: 1は $L$ に対し $U$ が最適で $D$ ではないので均衡でない。
- それ以外の組は、少なくとも一方が最適反応になっていない。

検算: $(U,R)=(2,3)$ では、1が $M$ や $D$ に変えると $1$ や $0$ で下がり、2が $L$ や $C$ に変えると $2$ や $1$ で下がる。$(M,C)=(2,2)$ では、1が $U$ や $D$ に変えると $0$ や $1$ で下がり、2が $L$ や $R$ に変えると $0$ や $1$ で下がる。いずれも逸脱の利益はない。

よって純粋戦略ナッシュ均衡は $(U,R)$ と $(M,C)$ の $2$ 個。