ゲーム理論の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学ゲーム理論

テニスの試合で、サーバー（プレイヤー 1）はサーブの方向を「左 $L$ 」「右 $R$ 」のどちらかに決めます。レシーバー（プレイヤー 2）は、どちらに備えるかを「左に備える $l$ 」「右に備える $r$ 」のどちらかに決めます。2 人は互いの選択を知らずに同時に選びます。これを 2 人ゼロ和ゲームと考えます。サーバーが受け取る得点（レシーバーが失う得点）は次の利得行列で与えられます（行がサーバーの選択、列がレシーバーの選択）。
$L R l - 2 2 r 3 - 1$
2 人とも混合戦略を使ってよいものとします。このゲームの値（サーバーが保証できる期待得点の最大値）を求めなさい。

この問題で使うもの

ゼロ和ゲームの値（鞍点と混合戦略）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（10 技能）

算数中学高校大学大学院

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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「ゼロ和ゲームの値（鞍点と混合戦略）」の技能を使います。まずマックスミニ値とミニマックス値を比べて、鞍点があるかどうかを調べましょう。

ヒント 2

鞍点がないときは、サーバーが $L$ を選ぶ確率を $p$ とおきます。レシーバーの各列に対する期待利得を $p$ の 1 次式で表し、その 2 つの小さいほう（下側の包絡線）が最大になる $p$ を探します。

ヒント 3

マックスミニ値は $- 1$ 、ミニマックス値は $2$ なので鞍点はありません。期待利得は、列 $l$ に対して $2 - 4 p$ 、列 $r$ に対して $4 p - 1$ です。この 2 直線の交点を求めましょう。

答えと解説

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\frac{1}{2}

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解説を読む

手順 1：鞍点があるか調べる。

各行の最小値は、行 $L$ が $min (- 2, 3) = - 2$ 、行 $R$ が $min (2, - 1) = - 1$ です。よってマックスミニ値は $max (- 2, - 1) = - 1$ です。

各列の最大値は、列 $l$ が $max (- 2, 2) = 2$ 、列 $r$ が $max (3, - 1) = 3$ です。よってミニマックス値は $min (2, 3) = 2$ です。

$- 1 \neq = 2$ なので鞍点はありません。したがって混合戦略を考えます。

手順 2：サーバーの期待利得の直線を作る。

サーバーが確率 $p$ で $L$ 、確率 $1 - p$ で $R$ を選ぶとします（ $0 \leq p \leq 1$ ）。

レシーバーが $l$ を選んだときの期待利得は
$E_{l} (p) = - 2 p + 2 (1 - p) = 2 - 4 p$
です。

レシーバーが $r$ を選んだときの期待利得は
$E_{r} (p) = 3 p + (- 1) (1 - p) = 4 p - 1$
です。

手順 3：下側の包絡線を最大化する。

レシーバーは、サーバーの得点が小さくなる列を選びます。そのためサーバーが保証できるのは $min {E_{l} (p), E_{r} (p)}$ です。

$E_{l} (p) = 2 - 4 p$ は減少し、 $E_{r} (p) = 4 p - 1$ は増加します。よって下側の包絡線 $min {2 - 4 p, 4 p - 1}$ は、2 直線の交点で最大になります。交点を求めると
$2 - 4 p = 4 p - 1 ⟺ 8 p = 3 ⟺ p = \frac{3}{8}$
です。このとき
$E_{l} (\frac{3}{8}) = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}, E_{r} (\frac{3}{8}) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$
となります。

確認（レシーバー側）：

レシーバーが確率 $q$ で $l$ を選ぶとします。サーバーの期待利得は、行 $L$ では $- 2 q + 3 (1 - q) = 3 - 5 q$ 、行 $R$ では $2 q - (1 - q) = 3 q - 1$ です。これらが等しくなるのは $8 q = 4$ 、つまり $q = \frac{1}{2}$ のときで、値は $3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$ です。サーバー側から求めた値と一致します。

よって、このゲームの値は $\frac{1}{2}$ です（サーバーの最適混合戦略は $L$ を確率 $\frac{3}{8}$ で選ぶこと）。

別解

利得行列 $A = (- 2 2 3 - 1)$ について解く。

純粋戦略の鞍点の有無を確認する。各行の最小値は、L が $- 2$ 、R が $- 1$ なので、maximin は $- 1$ である。各列の最大値は、l が $2$ 、r が $3$ なので、minimax は $2$ である。 $- 1 \neq = 2$ なので鞍点はなく、混合戦略が必要になる。

サーバーが L を確率 $p$ 、R を確率 $1 - p$ で選ぶとする。
- レシーバーが l のときの期待得点: $- 2 p + 2 (1 - p) = 2 - 4 p$
- レシーバーが r のときの期待得点: $3 p - (1 - p) = 4 p - 1$

両者が等しくなる $p$ を求める。 $2 - 4 p = 4 p - 1$ より $p = 3/8$ である。このとき期待得点は $4 \cdot \frac{3}{8} - 1 = \frac{1}{2}$ である。

$min (2 - 4 p, 4 p - 1)$ は $p = 3/8$ で最大になる。 $2 - 4 p$ は減少、 $4 p - 1$ は増加するので、これが最大点である。したがってゲームの値は $1/2$ である。

検算として、レシーバーが l を確率 $q$ 、r を確率 $1 - q$ で選ぶとする。
- サーバーが L のとき: $- 2 q + 3 (1 - q) = 3 - 5 q$
- サーバーが R のとき: $2 q - (1 - q) = 3 q - 1$

等しくなるのは $3 - 5 q = 3 q - 1$ より $q = 1/2$ で、値は $3 \cdot \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}$ である。サーバー側の値と一致する。

よって、ゲームの値は $1/2$ である。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

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プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
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