ゲーム理論の問題

鞍点の有無を調べる。 各行の最小値は $0.5,0.2,0.6$ で、その最大値（マックスミニ値）は $0.6$。各列の最大値は $0.9,0.9,0.9$ で、その最小値（ミニマックス値）は $0.9$。両者が一致しないので純粋戦略の鞍点はなく、混合戦略を考える。また、どの行・列も他の行・列に支配されていないので、3 つの戦略すべてを正の確率で使う均衡を探す。

キッカーの戦略. キッカーが $L,C,R$ をそれぞれ確率 $a,b,c$（$a+b+c=1$）で選ぶとする。キーパーの各純粋戦略に対するゴール確率は
$$L:0.5a+0.8b+0.9c,C:0.9a+0.2b+0.9c,R:0.9a+0.8b+0.6c.$$
これらを等しくする。$L$ と $C$ を等しくおくと $-0.4a+0.6b=0$ より $b=\frac{2}{3}a$。$L$ と $R$ を等しくおくと $-0.4a+0.3c=0$ より $c=\frac{4}{3}a$。$a+b+c=3a=1$ より
$$a=\frac{1}{3},b=\frac{2}{9},c=\frac{4}{9}.$$
このときのゴール確率は
$$0.5\cdot \frac{1}{3}+0.8\cdot \frac{2}{9}+0.9\cdot \frac{4}{9}=\frac{1.5+1.6+3.6}{9}=\frac{6.7}{9}=\frac{67}{90}.$$
したがってキッカーは、キーパーが何を選んでも確率 $\frac{67}{90}$ を保証できる。

キーパーの戦略. キーパーが $L,C,R$ をそれぞれ確率 $x,y,z$（$x+y+z=1$）で選ぶとする。キッカーの各純粋戦略に対するゴール確率は、$x+y+z=1$ を使うと
$$L:0.5x+0.9(y+z)=0.9-0.4x,C:0.8(x+z)+0.2y=0.8-0.6y,R:0.9(x+y)+0.6z=0.9-0.3z.$$
これらをすべて $\frac{67}{90}$ に等しくおくと
$$x=\frac{0.9-\frac{67}{90}}{0.4}=\frac{14/90}{0.4}=\frac{7}{18},y=\frac{0.8-\frac{67}{90}}{0.6}=\frac{5/90}{0.6}=\frac{5}{54},z=\frac{14/90}{0.3}=\frac{14}{27}.$$
$x+y+z=\frac{21+5+28}{54}=1$ で、すべて正なので確率分布になっている。したがってキーパーは、キッカーが何を選んでもゴール確率を $\frac{67}{90}$ 以下に抑えられる。

結論. キッカーが保証できる値とキーパーが抑えられる値がともに $\frac{67}{90}$ で一致するので（ミニマックス定理）、ゲームの値は
$$\frac{67}{90}$$
である。

キッカーの利得行列を $A$ とする。3×3 のすべての戦略を使う（完全台）と仮定して無差別条件を解く。

【キーパーの最適戦略 $(a,b,c)$（L, C, R を選ぶ確率）】
キッカーの各行に対する期待利得をすべて $v$ とおく。
$0.5a+0.9b+0.9c=v$, $0.8a+0.2b+0.8c=v$, $0.9a+0.9b+0.6c=v$, $a+b+c=1$。
1 本目と 3 本目から $9-4a=10v$, $9-3c=10v$ なので $c=\frac{4}{3}a$。
2 本目から $8-6b=10v$ なので $b=\frac{4a-1}{6}$。
和が 1 なので $18a=7$ より $a=\frac{7}{18}$, $b=\frac{5}{54}$, $c=\frac{14}{27}$（すべて 0 以上で和は 1）。
このとき $10v=9-4a=\frac{67}{9}$ より $v=\frac{67}{90}$。

【キッカーの最適戦略 $(x,y,z)$】
各列に対する期待利得を等しくする。
列 C と列 R の等式から $z=2y$、列 L と列 C の等式から $x=\frac{3}{2}y$。
和が 1 なので $y=\frac{2}{9}$, $x=\frac{1}{3}$, $z=\frac{4}{9}$（すべて 0 以上）。
このとき列 C の期待利得は $0.9\cdot \frac{1}{3}+0.2\cdot \frac{2}{9}+0.9\cdot \frac{4}{9}=\frac{67}{90}$。

【検算】
列 L: $0.5\cdot \frac{1}{3}+0.8\cdot \frac{2}{9}+0.9\cdot \frac{4}{9}=\frac{67}{90}$。
列 R: $0.9\cdot \frac{1}{3}+0.8\cdot \frac{2}{9}+0.6\cdot \frac{4}{9}=\frac{67}{90}$。
両者の戦略から同じ値 $\frac{67}{90}$ が得られ、どちらも一方的に変えても得をしないので、これが鞍点であり、ゲームの値は $\frac{67}{90}\approx 0.744$。