ゲーム理論の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル証明問題大学数学ゲーム理論

$a, b, c, d$ を正の実数とする。プレイヤー 1 は戦略 $U, D$ のどちらかを、プレイヤー 2 は戦略 $L, R$ のどちらかを同時に選ぶ 2 人ゲームを考える。各戦略の組での利得（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）は次のとおりである。
$(U, L) : (a, 0), (U, R) : (0, c), (D, L) : (0, d), (D, R) : (b, 0)$
プレイヤー 1 が確率 $p$ で $U$ 、確率 $1 - p$ で $D$ を選び、プレイヤー 2 が確率 $q$ で $L$ 、確率 $1 - q$ で $R$ を選ぶ混合戦略の組を $(p, q) \in [0, 1]^{2}$ で表し、2 人は独立に戦略を選ぶとする。 $(p, q)$ が混合戦略のナッシュ均衡であるとは、 $p$ が $q$ に対してプレイヤー 1 の期待利得を最大にし（ $[0, 1]$ の中で）、かつ $q$ が $p$ に対してプレイヤー 2 の期待利得を最大にすることをいう。

このゲームの混合戦略のナッシュ均衡はただ 1 つであり、その均衡におけるプレイヤー 1 の期待利得は $\frac{ab}{a + b}$ であることを証明せよ。

この問題で使うもの

混合戦略ナッシュ均衡（無差別の原理）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（9 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

期待利得 $u_{1} (p, q)$ , $u_{2} (p, q)$ を書き下し、それぞれの最適反応（相手の確率を固定したときに期待利得を最大にする自分の確率）を求めましょう。

ヒント 2

$u_{1}$ は $p$ の 1 次式で、 $p$ の係数は $(a + b) q - b$ です。 $u_{2}$ は $q$ の 1 次式で、 $q$ の係数は $d - (c + d) p$ です。係数の符号で最適反応が決まります。

ヒント 3

$q^{*} = \frac{b}{a + b}$ , $p^{*} = \frac{d}{c + d}$ とおき、均衡 $(p, q)$ について $q > q^{*}$ , $q < q^{*}$ , $q = q^{*}$ の 3 通りに分けます。最初の 2 つでは、最適反応を 2 回たどると矛盾が出ます。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

独立性から 4 つの組の確率を求め、 $u_{1} (p, q) = a pq + b (1 - p) (1 - q)$ 、 $u_{2} (p, q) = c p (1 - q) + d (1 - p) q$ を正しく導いている（2 点）
$u_{1}$ を $p$ の 1 次式、 $u_{2}$ を $q$ の 1 次式とみて、係数の符号から各プレイヤーの最適反応を $q^{*} = \frac{b}{a + b}$ 、 $p^{*} = \frac{d}{c + d}$ を境に 3 通りに場合分けして求めている（3 点）
$q > q^{*}$ と $q < q^{*}$ のそれぞれで、 $0 < p^{*}, q^{*} < 1$ を使って最適反応をたどると矛盾することを示している（2 点）
$q = q^{*}$ のとき $p = p^{*}$ でなければならないことと、 $(p^{*}, q^{*})$ が実際に互いに最適反応であることを確かめ、均衡がただ 1 つと結論している（2 点）
均衡での期待利得を $u_{1} (p^{*}, q^{*}) = b (1 - q^{*}) = \frac{ab}{a + b}$ と計算している（1 点）

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模範解答を読む

期待利得の計算. 2 人は独立に戦略を選ぶので、各戦略の組が起こる確率は $(U, L) : pq$ 、 $(U, R) : p (1 - q)$ 、 $(D, L) : (1 - p) q$ 、 $(D, R) : (1 - p) (1 - q)$ である。よって期待利得は
$u_{1} (p, q) = a pq + b (1 - p) (1 - q) = p ((a + b) q - b) + b (1 - q),$
$u_{2} (p, q) = c p (1 - q) + d (1 - p) q = q (d - (c + d) p) + c p$
となる。

$q^{*} = \frac{b}{a + b}$ 、 $p^{*} = \frac{d}{c + d}$ とおく。 $a, b, c, d > 0$ より $0 < q^{*} < 1$ 、 $0 < p^{*} < 1$ である。また $(a + b) q - b = (a + b) (q - q^{*})$ 、 $d - (c + d) p = - (c + d) (p - p^{*})$ であり、 $a + b > 0$ 、 $c + d > 0$ である。

最適反応. $u_{1} (p, q)$ は $q$ を固定すると $p$ の 1 次関数で、 $p$ の係数は $(a + b) (q - q^{*})$ である。よって $[0, 1]$ 上で $u_{1} (\cdot, q)$ を最大にする $p$ の集合は
- $q > q^{*}$ のとき ${1}$ （係数が正なので増加関数）
- $q < q^{*}$ のとき ${0}$ （係数が負なので減少関数）
- $q = q^{*}$ のとき $[0, 1]$ 全体（定数関数）

である。同様に $u_{2} (p, q)$ は $p$ を固定すると $q$ の 1 次関数で、 $q$ の係数は $- (c + d) (p - p^{*})$ なので、 $u_{2} (p, \cdot)$ を最大にする $q$ の集合は
- $p < p^{*}$ のとき ${1}$
- $p > p^{*}$ のとき ${0}$
- $p = p^{*}$ のとき $[0, 1]$ 全体

である。

均衡の決定. $(p, q)$ をナッシュ均衡とし、 $q$ と $q^{*}$ の大小で場合分けする。
- $q > q^{*}$ の場合: プレイヤー 1 の最適反応より $p = 1$ 。 $p^{*} < 1$ より $p > p^{*}$ なので、プレイヤー 2 の最適反応より $q = 0$ 。しかし $q > q^{*} > 0$ に矛盾する。
- $q < q^{*}$ の場合: プレイヤー 1 の最適反応より $p = 0$ 。 $p^{*} > 0$ より $p < p^{*}$ なので、プレイヤー 2 の最適反応より $q = 1$ 。しかし $q < q^{*} < 1$ に矛盾する。
- $q = q^{*}$ の場合: $0 < q^{*} < 1$ なので $q \neq = 0$ かつ $q \neq = 1$ である。もし $p < p^{*}$ ならプレイヤー 2 の最適反応は $q = 1$ だけ、 $p > p^{*}$ なら $q = 0$ だけなので、いずれも $q = q^{*}$ と両立しない。よって $p = p^{*}$ である。

したがって、ナッシュ均衡があるとすれば $(p^{*}, q^{*})$ に限る。逆に $(p^{*}, q^{*})$ では、 $q = q^{*}$ に対してプレイヤー 1 はすべての $p \in [0, 1]$ が最適なので $p^{*}$ も最適であり、 $p = p^{*}$ に対してプレイヤー 2 はすべての $q \in [0, 1]$ が最適なので $q^{*}$ も最適である。よって $(p^{*}, q^{*})$ はナッシュ均衡であり、ナッシュ均衡はこれただ 1 つである。

期待利得. $q = q^{*}$ のとき $(a + b) q^{*} - b = 0$ なので
$u_{1} (p^{*}, q^{*}) = b (1 - q^{*}) = b \cdot \frac{a}{a + b} = \frac{ab}{a + b} .$

以上より、このゲームの混合戦略のナッシュ均衡は $(\frac{d}{c + d}, \frac{b}{a + b})$ のただ 1 つであり、その均衡におけるプレイヤー 1 の期待利得は $\frac{ab}{a + b}$ である。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

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	$C_{1}$	$C_{2}$
$R_{1}$	$3$	$- 1$
$R_{2}$	$- 2$	$4$
$R_{3}$	$1$	$0$

	$L$	$C$	$R$
$T$	$(3, 0)$	$(0, 6)$	$(2, 3)$
$M$	$(1, 5)$	$(1, 1)$	$(1, 0)$
$B$	$(0, 4)$	$(3, 0)$	$(1, 3)$