ゲーム理論の問題

1. $M$ の消去. $T$ と $B$ を確率 $\frac{1}{2}$ ずつで混ぜた混合戦略をとると、プレイヤー 1 の期待利得は相手が $L,C,R$ のときそれぞれ
$$\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2},\frac{0+3}{2}=\frac{3}{2},\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}$$
で、どれも $M$ の利得 $1$ より大きい。よって $M$ はこの混合戦略に強く支配される。強く支配される戦略は、ナッシュ均衡において正の確率で使われることはない（相手の戦略が何であっても、その確率をもう一方に移すと期待利得が真に増える）。したがって均衡ではプレイヤー 1 は $T,B$ だけを使う。$T$ を選ぶ確率を $p$ とする。

2. プレイヤー 2 の最適反応. プレイヤー 1 が $(p,1-p)$ で $T,B$ を混ぜるとき、プレイヤー 2 の各純粋戦略の期待利得は
$$L:4(1-p)=4-4p,C:6p,R:3p+3(1-p)=3.$$
$4-4p>3⟺p<\frac{1}{4}$、$6p>3⟺p>\frac{1}{2}$ であり、また $4-4p$ と $6p$ が等しくなるのは $p=\frac{2}{5}$ で値は $\frac{12}{5}<3$。よって最適反応は
- $0\le p<\frac{1}{4}$ のとき $L$ のみ
- $p=\frac{1}{4}$ のとき $L$ と $R$（およびその混合）
- $\frac{1}{4}<p<\frac{1}{2}$ のとき $R$ のみ
- $p=\frac{1}{2}$ のとき $C$ と $R$（およびその混合）
- $\frac{1}{2}<p\le 1$ のとき $C$ のみ

3. 場合分け. プレイヤー 2 が $L,C,R$ を確率 $\ell ,c,r$ で使うとき、プレイヤー 1 の期待利得は
$$T:3\ell +2r,B:3c+r.$$
- $p<\frac{1}{4}$: 相手は $L$ のみ。$T$ が $3$、$B$ が $0$ なので $p=1$ となり矛盾。
- $\frac{1}{4}<p<\frac{1}{2}$: 相手は $R$ のみ。$T$ が $2$、$B$ が $1$ なので $p=1$ となり矛盾。
- $p>\frac{1}{2}$: 相手は $C$ のみ。$T$ が $0$、$B$ が $3$ なので $p=0$ となり矛盾。
- $p=\frac{1}{4}$: 相手は $\ell +r=1$。$0<p<1$ なのでプレイヤー 1 は $T,B$ で無差別でなければならず $3\ell +2(1-\ell )=1-\ell$、すなわち $\ell =-\frac{1}{2}$ となり不適。
- $p=\frac{1}{2}$: 相手は $c+r=1$。無差別条件 $2(1-c)=3c+(1-c)$ より $2-2c=1+2c$、$c=\frac{1}{4}$, $r=\frac{3}{4}$。これは確率として適切である。

よって唯一のナッシュ均衡は、プレイヤー 1 が $(T,M,B)=\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)$、プレイヤー 2 が $(L,C,R)=\left(0,\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right)$。

4. 期待利得. プレイヤー 1 の期待利得は $T$ の値 $2\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{2}$（$B$ の値 $3\cdot \frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$ と一致）。プレイヤー 2 の期待利得は $p=\frac{1}{2}$ における $C$ または $R$ の値で $6\cdot \frac{1}{2}=3$。

答えは $\left(\frac{3}{2},3\right)$。

プレイヤー 1 の利得は T:(3,0,2)、M:(1,1,1)、B:(0,3,1)(列は L,C,R の順)。T と B を確率 $\frac{1}{2}$ ずつ混ぜた戦略の利得は L に対して $1.5$、C に対して $1.5$、R に対して $1.5$ で、どの列に対しても M の利得 $1$ より大きい。よって M は混合戦略に強く支配されるので、均衡では使われない。

M を除いた 2×3 ゲームで考える。プレイヤー 1 が T を確率 $x$、B を $1-x$ で選ぶとき、プレイヤー 2 の期待利得は L: $4(1-x)$、C: $6x$、R: $3$。

• 支持が {L,C,R} または {L,C}: L=C から $x=0.4$、その値は $2.4<3$ で R のほうが良いので不成立。
• 支持が {L,R}: $x=\frac{1}{4}$ が必要だが、プレイヤー 1 が T と B を無差別にするには $3y_L+y_R=0$ が必要で不可能。
• 支持が {C,R}: $6x=3$ より $x=\frac{1}{2}$。このとき L の期待利得は $2<3$ で逸脱しない。プレイヤー 1 が T と B を無差別にする条件は T: $2y_R$、B: $3y_C+y_R$ より $y_R=3y_C$、$y_C+y_R=1$ から $y_C=\frac{1}{4}$、$y_R=\frac{3}{4}$。

このとき プレイヤー 1 の期待利得は T,B ともに $2\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{2}$(M は $1<\frac{3}{2}$ で逸脱しない)。プレイヤー 2 の期待利得は C,R ともに $3$(L は $2$)。したがって均衡は (T: $\frac{1}{2}$, B: $\frac{1}{2}$) 対 (C: $\frac{1}{4}$, R: $\frac{3}{4}$) で、期待利得は $\left(\frac{3}{2},3\right)$。