ゲーム理論の問題
プレイヤー 1 は戦略 か を、プレイヤー 2 は戦略 か を、互いの選択を知らずに同時に 1 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりである。各欄は（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）を表す。
このゲームには純粋戦略ナッシュ均衡がなく、混合戦略ナッシュ均衡がただ 1 つある。その均衡で、プレイヤー 1 が を選ぶ確率を 、プレイヤー 2 が を選ぶ確率を とする。 をこの順に求めよ。
この問題で使うもの
- 混合戦略ナッシュ均衡（無差別の原理）（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（9 技能）
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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
混合戦略ナッシュ均衡の「無差別の原理」を使います。各プレイヤーの確率は、相手の 2 つの純粋戦略の期待利得が等しくなるように決まります。
ヒント 2
はプレイヤー 2 の利得（各欄の右の数）を使い、「 の期待利得 の期待利得」とおきます。 はプレイヤー 1 の利得（左の数）を使い、「 の期待利得 の期待利得」とおきます。
ヒント 3
プレイヤー 2 の期待利得は で 、 で です。プレイヤー 1 の期待利得は で 、 で です。それぞれ等しいとおいて解きましょう。
答えと解説
答えを見る
どこでつまずきましたか？（選ぶと、戻る場所を案内します）
解説を読む
無差別の原理：混合戦略ナッシュ均衡では、各プレイヤーは自分の 2 つの純粋戦略を正の確率で混ぜているので、相手の混合戦略のもとで自分の 2 つの純粋戦略の期待利得が等しくなっていなければならない（どちらかが大きければ、そちらだけを選ぶほうが得になるから）。
を求める（プレイヤー 2 を無差別にする）
プレイヤー 1 が を確率 、 を確率 で選ぶとき、プレイヤー 2 の期待利得は
これらが等しいので より 、よって 。
を求める（プレイヤー 1 を無差別にする）
プレイヤー 2 が を確率 、 を確率 で選ぶとき、プレイヤー 1 の期待利得は
これらが等しいので より 、よって 。
はどちらも と の間にあるので、確率として適切である。（参考：このときプレイヤー 1 の期待利得は 、プレイヤー 2 の期待利得は 。）
注意： は自分（プレイヤー 1）ではなく相手（プレイヤー 2）の利得から決まり、 はプレイヤー 1 の利得から決まる。
答え：
別解
まず純粋戦略の組 4 つを調べる。 ではプレイヤー 1 が に変えると で得をする。 ではプレイヤー 2 が に変えると で得をする。 ではプレイヤー 2 が に変えると で得をする。 ではプレイヤー 1 が に変えると で得をする。したがって純粋戦略ナッシュ均衡はない。
混合戦略均衡では、各プレイヤーは相手が無差別になるように確率を選ぶ。
プレイヤー 2 が と で無差別になる条件を考える。期待利得は が 、 が である。これらが等しいので より となる。
プレイヤー 1 が と で無差別になる条件を考える。期待利得は が 、 が である。これらが等しいので より となる。
検算として のとき、プレイヤー 2 の期待利得は が 、 が で一致する。 のとき、プレイヤー 1 の期待利得は が 、 が で一致する。
よって である。