ゲーム理論の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学ゲーム理論

サッカーのペナルティキックで、キッカー（プレイヤー 1）はシュートを「左（ $L$ ）」か「右（ $R$ ）」に蹴り、ゴールキーパー（プレイヤー 2）は「左（ $L$ ）」か「右（ $R$ ）」に跳ぶ。2 人は互いの選択を知らずに同時に 1 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりで、各欄は（キッカーの利得, キーパーの利得）を表す。

	キーパー $L$	キーパー $R$
キッカー $L$	$(1, 4)$	$(4, 1)$
キッカー $R$	$(3, 2)$	$(2, 3)$

このゲームには純粋戦略ナッシュ均衡がなく、混合戦略ナッシュ均衡がただ 1 つある。その混合戦略ナッシュ均衡で、キッカーが $L$ を選ぶ確率を $p$ 、キーパーが $L$ を選ぶ確率を $q$ とする。 $(p, q)$ をこの順に求めよ。

この問題で使うもの

混合戦略ナッシュ均衡（無差別の原理）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（9 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

混合戦略ナッシュ均衡の確率は「無差別の原理」で求めます。各プレイヤーの確率は、相手の 2 つの純粋戦略の期待利得が等しくなるように決まります。

ヒント 2

$p$ はキーパーの利得（各欄の右側の数）を使い、「キーパーが $L$ を選んだときの期待利得 = $R$ を選んだときの期待利得」という式を立てます。 $q$ はキッカーの利得（左側の数）で同様にします。

ヒント 3

キーパーの期待利得は $L$ で $4 p + 2 (1 - p)$ 、 $R$ で $p + 3 (1 - p)$ です。キッカーの期待利得は $L$ で $q + 4 (1 - q)$ 、 $R$ で $3 q + 2 (1 - q)$ です。それぞれを等しいとおいて解きましょう。

答えと解説

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(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})

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解説を読む

方針（無差別の原理）：混合戦略ナッシュ均衡では、各プレイヤーは「自分の 2 つの純粋戦略の期待利得が等しくなる」ように相手に混ぜられている。つまり、 $p$ はキーパーの期待利得を無差別にする条件から、 $q$ はキッカーの期待利得を無差別にする条件から決まる。

(1) $p$ を求める（キーパーを無差別にする）

キッカーが確率 $p$ で $L$ 、確率 $1 - p$ で $R$ を選ぶとき、キーパーの期待利得は
$キーパー L : 4 p + 2 (1 - p) = 2 + 2 p,$
$キーパー R : 1 \cdot p + 3 (1 - p) = 3 - 2 p .$
これらが等しいので $2 + 2 p = 3 - 2 p$ 、すなわち $4 p = 1$ より $p = \frac{1}{4}$ 。

(2) $q$ を求める（キッカーを無差別にする）

キーパーが確率 $q$ で $L$ 、確率 $1 - q$ で $R$ を選ぶとき、キッカーの期待利得は
$キッカー L : 1 \cdot q + 4 (1 - q) = 4 - 3 q,$
$キッカー R : 3 q + 2 (1 - q) = 2 + q .$
これらが等しいので $4 - 3 q = 2 + q$ 、すなわち $4 q = 2$ より $q = \frac{1}{2}$ 。

$0 < p < 1, 0 < q < 1$ なので、どちらも確率として適切である。このとき両者とも 2 つの戦略が無差別なので、互いに最適反応になっている。

（参考）均衡でのキッカーの期待利得は $4 - 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ 、キーパーの期待利得は $2 + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{2}$ である。

よって $(p, q) = (\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ 。

別解

キッカーの利得: $L$ を選ぶと期待利得 $q \cdot 1 + (1 - q) \cdot 4 = 4 - 3 q$ 、 $R$ を選ぶと $q \cdot 3 + (1 - q) \cdot 2 = 2 + q$ 。キーパーが $q$ を選ぶとき、キッカーが無差別になる条件は $4 - 3 q = 2 + q$ より $q = \frac{1}{2}$ 。

キーパーの利得: キッカーが $L$ を確率 $p$ で選ぶとき、キーパーが $L$ を選ぶと $4 p + 2 (1 - p) = 2 + 2 p$ 、 $R$ を選ぶと $1 \cdot p + 3 (1 - p) = 3 - 2 p$ 。無差別条件は $2 + 2 p = 3 - 2 p$ より $p = \frac{1}{4}$ 。

検算: 純粋戦略均衡の有無を確認する。(L,L): キッカーは R に変えると 3>1 なので逸脱する。(L,R): キーパーは L に変えると 4>1 なので逸脱する。(R,L): キーパーは R に変えると 3>2 なので逸脱する。(R,R): キッカーは L に変えると 4>2 なので逸脱する。よって純粋戦略均衡はなく、混合戦略均衡は一意である。

$p = \frac{1}{4}$ のとき、キーパーの期待利得は $L$ が $2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ 、 $R$ が $3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ で一致する。 $q = \frac{1}{2}$ のとき、キッカーの期待利得は $L$ が $4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$ 、 $R$ が $2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ で一致する。

答え: $(p, q) = (\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$

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	$L$	$R$
$U$	$(1, 3)$	$(4, 0)$
$D$	$(3, 1)$	$(2, 2)$

	$L$	$R$
$U$	$(3, 1)$	$(0, 2)$
$D$	$(1, 3)$	$(2, 0)$