ゲーム理論の問題

方針（無差別の原理）：混合戦略ナッシュ均衡では、各プレイヤーは相手の混合戦略に対して、自分の 2 つの純粋戦略の期待利得が等しく（無差別に）なっている。そうでなければ、期待利得の大きい方だけを選ぶのが得になり、両方を正の確率で混ぜる理由がないからである。

純粋戦略ナッシュ均衡がないことの確認：$(U,L)$ ではプレイヤー 2 は $R$ に変えると $1\to 2$ で得をする。$(U,R)$ ではプレイヤー 1 は $D$ に変えると $0\to 2$ で得をする。$(D,L)$ ではプレイヤー 1 は $U$ に変えると $1\to 3$ で得をする。$(D,R)$ ではプレイヤー 2 は $L$ に変えると $0\to 3$ で得をする。よって純粋戦略ナッシュ均衡はない。

手順 1：$p$ を求める（プレイヤー 2 を無差別にする）
プレイヤー 1 が確率 $p$ で $U$、確率 $1-p$ で $D$ を選ぶとき、プレイヤー 2 の期待利得は
$$L:1\cdot p+3(1-p)=3-2p,R:2\cdot p+0\cdot (1-p)=2p$$
これらが等しいので $3-2p=2p$、よって $p=\frac{3}{4}$。

手順 2：$q$ を求める（プレイヤー 1 を無差別にする）
プレイヤー 2 が確率 $q$ で $L$、確率 $1-q$ で $R$ を選ぶとき、プレイヤー 1 の期待利得は
$$U:3q+0\cdot (1-q)=3q,D:1\cdot q+2(1-q)=2-q$$
これらが等しいので $3q=2-q$、よって $q=\frac{1}{2}$。

$0<p<1,0<q<1$ なので確率として適切である。（参考：このときの均衡での期待利得は、プレイヤー 1 が $3q=\frac{3}{2}$、プレイヤー 2 が $2p=\frac{3}{2}$。）

注意：$p$ はプレイヤー 1 の確率だが、プレイヤー 2 の利得を使って決まる。自分の確率は相手を無差別にするように決まる点がポイントである。

答え：$(p,q)=\left(\frac{3}{4},\frac{1}{2}\right)$

純粋戦略の確認：(U,L) では、プレイヤー2は L(1) より R(2) の方が得なので逸脱する。(U,R) では、プレイヤー1は U(0) より D(1) の方が得なので逸脱する。(D,R) では、プレイヤー2は R(0) より L(3) の方が得なので逸脱する。(D,L) では、プレイヤー1は D(1) より U(3) の方が得なので逸脱する。よって純粋戦略ナッシュ均衡はない。

混合戦略：プレイヤー2が L を確率 $q$ で選ぶとき、プレイヤー1の期待利得は U が $3q$、D が $q+2(1-q)=2-q$ である。無差別になる条件 $3q=2-q$ より $q=\frac{1}{2}$。

プレイヤー1が U を確率 $p$ で選ぶとき、プレイヤー2の期待利得は L が $p+3(1-p)=3-2p$、R が $2p$ である。無差別になる条件 $3-2p=2p$ より $p=\frac{3}{4}$。

検算：$p=3/4,q=1/2$ のとき、プレイヤー1の期待利得は U が $3/2$、D が $2-1/2=3/2$ で一致する。プレイヤー2の期待利得は L が $3/4+3/4=3/2$、R が $3/2$ で一致する。

よって $(p,q)=(3/4,1/2)$。