ゲーム理論の問題

利得行列を作る。 プレイヤー 1 が拠点 $A$ に置く部隊数を $a(a=0,1,2,3,4)$ とすると、$B$ には $4-a$ 部隊を置く。プレイヤー 2 が $A$ に置く部隊数を $b(b=0,1,2,3)$ とすると、$B$ には $3-b$ 部隊を置く。符号関数を $\mathrm{sgn}$ とすると、プレイヤー 1 の利得は
$$K(a,b)=2\mathrm{sgn}(a-b)+\mathrm{sgn}((4-a)-(3-b))=2\mathrm{sgn}(a-b)+\mathrm{sgn}(1-a+b)$$
である。行を $a=0,\dots ,4$、列を $b=0,\dots ,3$ として計算すると次のようになる。
$$\begin{array}{ccccc}& b=0& b=1& b=2& b=3\\ a=0& 1& -1& -1& -1\\ a=1& 2& 1& -1& -1\\ a=2& 1& 2& 1& -1\\ a=3& 1& 1& 2& 1\\ a=4& 1& 1& 1& 2\end{array}$$
（例：$a=1,b=0$ のとき、$A$ は $1$ 対 $0$ でプレイヤー 1 が獲得して $+2$、$B$ は $3$ 対 $3$ で引き分けて $0$ なので、利得は $2$。）

支配される戦略を除く。 行 $a=0$ の利得 $(1,-1,-1,-1)$ は、行 $a=3$ の利得 $(1,1,2,1)$ 以下である。よって行 $a=0$ は支配されるので、プレイヤー 1 は $a=0$ を使わないとしてよい。

無差別の条件で最適戦略の候補を求める。 プレイヤー 1 が行 $a=1,2,3,4$ をそれぞれ確率 $p_1,p_2,p_3,p_4$ で選び、どの列に対しても期待利得が同じ値 $v$ になるとする。条件は
$$\begin{array}{rl}b=0& :2p_1+p_2+p_3+p_4=v\\ b=1& :p_1+2p_2+p_3+p_4=v\\ b=2& :-p_1+p_2+2p_3+p_4=v\\ b=3& :-p_1-p_2+p_3+2p_4=v\end{array}$$
と $p_1+p_2+p_3+p_4=1$ である。

• 第 1 式から第 2 式を引くと $p_1-p_2=0$ となる。そこで $p_1=p_2=p$ とおく。
• $p_3+p_4=1-2p$ なので、第 1 式は $3p+(1-2p)=1+p=v$ となる。
• 第 3 式は $2p_3+p_4=v$ であり、左辺は $p_3+(1-2p)$ に等しい。よって $p_3+1-2p=1+p$ から $p_3=3p$、したがって $p_4=1-5p$ である。
• 第 4 式は $-2p+3p+2(1-5p)=2-9p=v=1+p$ となり、$p=\frac{1}{10}$ が得られる。

以上より、$(p_1,p_2,p_3,p_4)=\left(\frac{1}{10},\frac{1}{10},\frac{3}{10},\frac{1}{2}\right)$、$v=\frac{11}{10}$ である。

プレイヤー 2 についても同様に考える。列 $b=0,1,2,3$ を確率 $q_0,q_1,q_2,q_3$ で選ぶとし、行 $a=1,2,3,4$ の期待利得をすべて等しくおいて解くと、$(q_0,q_1,q_2,q_3)=\left(\frac{1}{2},\frac{3}{10},\frac{1}{10},\frac{1}{10}\right)$ が得られる。

検証する。

(1) プレイヤー 1 が混合戦略 $x^{\ast }$：$a=0,1,2,3,4$ を確率 $0,\frac{1}{10},\frac{1}{10},\frac{3}{10},\frac{1}{2}$ で選ぶとき、各列に対する期待利得は次のとおりである。
$$\begin{array}{rl}b=0& :\frac{2}{10}+\frac{1}{10}+\frac{3}{10}+\frac{5}{10}=\frac{11}{10}\\ b=1& :\frac{1}{10}+\frac{2}{10}+\frac{3}{10}+\frac{5}{10}=\frac{11}{10}\\ b=2& :-\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{6}{10}+\frac{5}{10}=\frac{11}{10}\\ b=3& :-\frac{1}{10}-\frac{1}{10}+\frac{3}{10}+\frac{10}{10}=\frac{11}{10}\end{array}$$
よって、プレイヤー 2 がどの混合戦略をとっても、プレイヤー 1 の期待利得は $\frac{11}{10}$ である。

(2) プレイヤー 2 が混合戦略 $y^{\ast }$：$b=0,1,2,3$ を確率 $\frac{1}{2},\frac{3}{10},\frac{1}{10},\frac{1}{10}$ で選ぶとき、各行に対するプレイヤー 1 の期待利得は次のとおりである。
$$\begin{array}{rl}a=0& :\frac{5}{10}-\frac{3}{10}-\frac{1}{10}-\frac{1}{10}=0\\ a=1& :\frac{10}{10}+\frac{3}{10}-\frac{1}{10}-\frac{1}{10}=\frac{11}{10}\\ a=2& :\frac{5}{10}+\frac{6}{10}+\frac{1}{10}-\frac{1}{10}=\frac{11}{10}\\ a=3& :\frac{5}{10}+\frac{3}{10}+\frac{2}{10}+\frac{1}{10}=\frac{11}{10}\\ a=4& :\frac{5}{10}+\frac{3}{10}+\frac{1}{10}+\frac{2}{10}=\frac{11}{10}\end{array}$$
よって、プレイヤー 1 がどの混合戦略をとっても、期待利得は $\frac{11}{10}$ 以下である。

(1) からマックスミニ値は $\frac{11}{10}$ 以上、(2) からミニマックス値は $\frac{11}{10}$ 以下である。マックスミニ値はミニマックス値以下なので、両者は一致する（ミニマックス定理とも整合する）。したがって、ゲームの値は
$$\frac{11}{10}$$
である。

プレイヤー1の配置を $a$（拠点Aに置く部隊数、$a=0,\dots ,4$、拠点Bには $4-a$）、プレイヤー2の配置を $b$（$b=0,\dots ,3$、拠点Bには $3-b$）とする。
拠点Aでは $a>b$ なら $+2$、$a<b$ なら $-2$、等しければ $0$。拠点Bでは $4-a>3-b$（$a\le b$）なら $+1$、$4-a<3-b$（$a>b$）なら $-1$、等しければ $0$。

利得行列（行 $a=0,\dots ,4$、列 $b=0,\dots ,3$）は次のとおり。
$a=0$: $(1,-1,-1,-1)$
$a=1$: $(2,1,-1,-1)$
$a=2$: $(1,2,1,-1)$
$a=3$: $(1,1,2,1)$
$a=4$: $(1,1,1,2)$

行0は行3に支配されるので除く。プレイヤー1が行1〜4を確率 $p_1,\dots ,p_4$ で使うとき、各列の期待利得は
列0: $1+p_1$
列1: $1+p_2$
列2: $1-2p_1+p_3$
列3: $1-2p_1-2p_2+p_4$
となる。これらを等しく $v=1+g$ とおくと、$p_1=g$, $p_2=g$, $p_3=3g$, $p_4=5g$。和が1より $10g=1$ なので $g=1/10$、$v=11/10$。

プレイヤー2側の検算: 行1〜4の期待利得を $v$ にする $q=(q_0,q_1,q_2,q_3)$ を求める。行3、行4から $1+q_2=v$, $1+q_3=v$ より $q_2=q_3=0.1$。行1と $q_0+q_1=0.8$ から $q_0=0.5$, $q_1=0.3$。行2: $0.5+0.6+0.1-0.1=1.1$ で一致する。行0: $0.5-0.3-0.1-0.1=0\le 1.1$ で、$q$ はすべて非負。
両側から $11/10$ が保証されるので、ゲームの値は $11/10$。