ゲーム理論の問題

プレイヤー 1 は行 $R_1,R_2,R_3$ のどれかを、プレイヤー 2 は列 $C_1,C_2$ のどちらかを、互いの選択を知らずに同時に選ぶ 2 人ゼロ和ゲームを考える。プレイヤー 1 が受け取る利得（プレイヤー 2 が支払う額）は次の表のとおりである。

両プレイヤーが混合戦略を使えるとき、このゲームの値（プレイヤー 1 の期待利得のマックスミニ値）を求めよ。

プレイヤー 1 は行 $\mathrm{I},\mathrm{II}$ のどちらかを、プレイヤー 2 は列 $a,b,c$ のどれかを同時に選ぶ 2 人ゼロ和ゲームを考える。プレイヤー 1 が受け取る利得（プレイヤー 2 が支払う額）は次の行列で与えられる。

両プレイヤーとも混合戦略を用いることができるとき、このゲームの値（プレイヤー 1 の期待利得のマックスミニ値）を求めよ。

プレイヤー 1 は行 $U,D$ のどちらかを、プレイヤー 2 は列 $L,R$ のどちらかを、互いの選択を知らずに同時に選ぶ 2 人ゼロ和ゲームを考える。プレイヤー 1 が受け取る利得（プレイヤー 2 が支払う額）は次の利得行列で与えられる。
$$\begin{array}{ccc}& L& R\\ U& 3& -1\\ D& -2& 4\end{array}$$
両プレイヤーは混合戦略を使ってよいものとする。このゲームの値（プレイヤー 1 の期待利得の ${\max }_p\min$ の値）を求めよ。

$a,b,c,d$ を正の実数とする。プレイヤー 1 は戦略 $U,D$ のどちらかを、プレイヤー 2 は戦略 $L,R$ のどちらかを同時に選ぶ 2 人ゲームを考える。各戦略の組での利得（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）は次のとおりである。
$$(U,L):(a,0),(U,R):(0,c),(D,L):(0,d),(D,R):(b,0)$$
プレイヤー 1 が確率 $p$ で $U$、確率 $1-p$ で $D$ を選び、プレイヤー 2 が確率 $q$ で $L$、確率 $1-q$ で $R$ を選ぶ混合戦略の組を $(p,q)\in [0,1{]}^2$ で表し、2 人は独立に戦略を選ぶとする。$(p,q)$ が混合戦略のナッシュ均衡であるとは、$p$ が $q$ に対してプレイヤー 1 の期待利得を最大にし（$[0,1]$ の中で）、かつ $q$ が $p$ に対してプレイヤー 2 の期待利得を最大にすることをいう。

このゲームの混合戦略のナッシュ均衡はただ 1 つであり、その均衡におけるプレイヤー 1 の期待利得は $\frac{ab}{a+b}$ であることを証明せよ。

サッカーの PK で、キッカー（プレイヤー 1）はシュートの方向を「左 $L$」「中央 $C$」「右 $R$」から 1 つ選ぶ。ゴールキーパー（プレイヤー 2）は守る位置を「左 $L$」「中央 $C$」「右 $R$」から 1 つ選ぶ。2 人は互いの選択を知らずに同時に選ぶ。それぞれの組合せでゴールが決まる確率は次の表のとおりである（行がキッカーの選択、列がキーパーの選択）。

$$\begin{array}{cccc}& L& C& R\\ L& 0.5& 0.9& 0.9\\ C& 0.8& 0.2& 0.8\\ R& 0.9& 0.9& 0.6\end{array}$$

キッカーはゴールが決まる確率を最大にしたく、キーパーはそれを最小にしたい。この状況を、キッカーの利得がゴールの決まる確率であり、キーパーの利得がその符号を変えたものである 2 人ゼロ和ゲームとみなす。両者とも混合戦略を用いてよいとき、このゲームの値を求めよ。