ゲーム理論の問題

プレイヤー 1, 2 が、大きさ $1$ のケーキの分け方を次の交互提案の交渉で決める。交渉は最大 $4$ ラウンドで、ラウンド $1,3$ ではプレイヤー 1 が、ラウンド $2,4$ ではプレイヤー 2 が提案者になる。

• 各ラウンドで、提案者はプレイヤー 1 の取り分 $x$ とプレイヤー 2 の取り分 $1-x$（$0\le x\le 1$ の実数）を提案する。
• もう一方のプレイヤー（応答者）は、それを見てから受諾するか拒否するかを選ぶ。受諾すればその分け方で交渉は終わる。拒否すれば次のラウンドに進む。
• ラウンド $4$ の提案も拒否された場合、2 人の利得はともに $0$ である。
• ラウンド $t(t=1,2,3,4)$ で分け方 $(x,1-x)$ が受諾されたとき、プレイヤー 1 の利得は ${\left(\frac{3}{5}\right)}^{t-1}x$、プレイヤー 2 の利得は ${\left(\frac{4}{5}\right)}^{t-1}(1-x)$ である。

このゲームを完全情報の展開形ゲームとみなし、応答者は受諾と拒否が無差別なときは受諾するものとする。このとき部分ゲーム完全均衡はただ 1 つに定まる。部分ゲーム完全均衡におけるプレイヤー 1 の利得を求めよ。

プレイヤー 1, 2 が $120$ 万円の分け方を、最大 $3$ ラウンドの交互提案で交渉する。

• ラウンド $t=1,3$ ではプレイヤー 1 が、ラウンド $t=2$ ではプレイヤー 2 が提案者となり、分配 $(x_1,x_2)$（$x_1+x_2=120$、$x_1\ge 0$、$x_2\ge 0$ の実数）を提案する。もう一方のプレイヤー（応答者）は受諾か拒否を選ぶ。
• 受諾されればその分配で交渉は終わる。拒否されれば次のラウンドに進む。ラウンド $3$ の提案も拒否された場合は、両者の取り分はともに $0$ になる。
• ラウンド $t$ で分配 $(x_1,x_2)$ に合意したとき、プレイヤー $i$ の利得は ${\delta }_i^{t-1}{x}_i$ である。ここで割引因子は ${\delta }_1=\frac{1}{2}$、${\delta }_2=\frac{2}{3}$ とする。
• 応答者は、受諾しても拒否しても利得が等しいときは受諾するものとする。

このゲームの部分ゲーム完全均衡におけるプレイヤー 1 の利得 $u_1$ とプレイヤー 2 の利得 $u_2$ を、組 $(u_1,u_2)$ の形で求めよ（単位は万円）。

プレイヤー 1, 2 が、$9000$ 円を 2 人でどう分けるかを、最大 $3$ ラウンドの交互提案の交渉で決める。

• ラウンド $1$ と $3$ ではプレイヤー 1 が、ラウンド $2$ ではプレイヤー 2 が提案者になる。提案者は分け方 $(x_1,x_2)$（$x_1+x_2=9000$, $x_1\ge 0$, $x_2\ge 0$、$x_i$ はプレイヤー $i$ の取り分で実数）を提案し、もう一方のプレイヤー（応答者）が受諾するか拒否するかを選ぶ。
• 受諾されればその分け方で交渉は終わる。拒否されれば次のラウンドに進む。ラウンド $3$ の提案が拒否された場合は、2 人とも $0$ 円を受け取る。
• ラウンド $t$ で分け方 $(x_1,x_2)$ が合意されたとき、プレイヤー $i$ の利得は ${\delta }_i^{t-1}{x}_i$ とする。割引因子は ${\delta }_1=\frac{1}{2}$, ${\delta }_2=\frac{2}{3}$ である。
• 応答者は、受諾と拒否で利得が等しいときは受諾する。

このゲームの部分ゲーム完全均衡における、プレイヤー 1 の利得とプレイヤー 2 の利得を、この順に組で求めよ。

プレイヤー 1, 2 が、賞金 $90$ 万円の分け方を次の交互提案の交渉で決める。交渉は最大 $3$ ラウンドである。

• ラウンド $1$ とラウンド $3$ ではプレイヤー 1 が、ラウンド $2$ ではプレイヤー 2 が提案者になり、分配 $(x_1,x_2)$（$x_1\ge 0,x_2\ge 0,x_1+x_2=90$、単位は万円）を提案する。もう一方のプレイヤーは受諾か拒否を選ぶ。
• 受諾されればその分配で交渉は終わる。拒否されれば次のラウンドに進む。ラウンド $3$ の提案も拒否されたら、両者とも $0$ 万円を得る。
• ラウンド $t$ で分配 $(x_1,x_2)$ が受諾されたとき、プレイヤー $i$ の利得は ${\delta }_i^{t-1}{x}_i$ とする。ここで割引因子は ${\delta }_1=\frac{1}{2}$, ${\delta }_2=\frac{2}{3}$ である。
• 受諾と拒否で利得が等しいとき、応答者は受諾するものとする。

このゲームの部分ゲーム完全均衡におけるプレイヤー 1 の利得とプレイヤー 2 の利得を、この順に組 $(u_1,u_2)$ で答えよ。

$2$ 人のプレイヤー $1,2$ が、$10$ 万円の賞金の分け方を次の規則で決める。プレイヤー $1$ は要求額 $x$、プレイヤー $2$ は要求額 $y$（単位は万円）を、互いの選択を知らずに同時に $1$ 回だけ選ぶ。$x,y$ はどちらも $\{0,1,2,\dots ,10\}$ の中から選ぶ。

• $x+y\le 10$ のとき、プレイヤー $1$ は $x$、プレイヤー $2$ は $y$ を受け取る（余りは誰も受け取らない）。
• $x+y>10$ のとき、$2$ 人とも $0$ を受け取る。

各プレイヤーの利得は受け取る金額である。このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡 $(x,y)$ の個数を求めよ。