後ろ向き帰納法と部分ゲーム完全均衡

プレイヤー $1,2$ が、次の完全情報の展開形ゲームを行う。各プレイヤーは手番が来たとき、それまでの行動をすべて知っている。利得は（プレイヤー $1$ の利得, プレイヤー $2$ の利得）の順に書く。

• 第 $1$手番：プレイヤー $1$ が「止める $T$」か「続ける $C$」を選ぶ。$T$ ならゲームは終わり、利得は $(2,0)$ である。$C$ なら第 $2$ 手番へ進む。
• 第 $2$ 手番：プレイヤー $2$ が $T$ か $C$ を選ぶ。$T$ ならゲームは終わり、利得は $(1,3)$ である。$C$ なら第 $3$ 手番へ進む。
• 第 $3$ 手番：プレイヤー $1$ が $T$ か $C$ を選ぶ。$T$ なら利得は $(4,2)$、$C$ なら利得は $(3,5)$ でゲームは終わる。

各プレイヤーは自分の利得を最大にするように行動する。このゲームの部分ゲーム完全均衡において実現する利得の組を、（プレイヤー $1$ の利得, プレイヤー $2$ の利得）の順に求めよ。

プレイヤー 1, 2 による次の完全情報の展開形ゲームを考える。各手番では「やめる（$S$）」か「続ける（$C$）」のどちらかを選ぶ。利得は（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）の順に書く。

• 手番 1：プレイヤー 1 が選ぶ。$S$ ならゲームは終わり、利得は $(2,1)$。$C$ なら手番 2 へ進む。
• 手番 2：プレイヤー 2 が選ぶ。$S$ ならゲームは終わり、利得は $(1,2)$。$C$ なら手番 3 へ進む。
• 手番 3：プレイヤー 1 が選ぶ。$S$ なら利得は $(5,3)$、$C$ なら利得は $(4,6)$ でゲームは終わる。

それぞれの手番で選ぶプレイヤーは、それまでの選択をすべて知っている。後ろ向き帰納法によって部分ゲーム完全均衡を求め、その均衡で実現する利得の組を（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）の形で求めよ。

プレイヤー $1$, $2$ が、テーブルの上のお金をめぐって次の完全情報の展開形ゲームを行う。各プレイヤーはそれまでの行動をすべて観察してから行動を選ぶ。利得は（プレイヤー $1$ の利得, プレイヤー $2$ の利得）の順に書く。

• 第 $1$ 手番：プレイヤー $1$ が「取る」か「渡す」を選ぶ。「取る」ならゲームは終わり、利得は $(2,0)$ である。
• 第 $2$ 手番（第 $1$ 手番で「渡す」が選ばれたとき）：プレイヤー $2$ が「取る」か「渡す」を選ぶ。「取る」ならゲームは終わり、利得は $(1,3)$ である。
• 第 $3$ 手番（第 $2$ 手番で「渡す」が選ばれたとき）：プレイヤー $1$ が「取る」か「渡す」を選ぶ。「取る」なら利得は $(4,2)$、「渡す」なら利得は $(3,5)$ でゲームは終わる。

各プレイヤーは自分の利得を最大にするように行動する。このゲームの部分ゲーム完全均衡で実現する利得の組を（プレイヤー $1$ の利得, プレイヤー $2$ の利得）の形で求めよ。

プレイヤー 1, 2 による次の完全情報の展開形ゲームを考える。利得は（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）の順に書く。

• まずプレイヤー 1 が $L$ または $R$ を選ぶ。
• $L$ が選ばれたとき、プレイヤー 2 が ${\ell }_1$ または ${\ell }_2$ を選ぶ。${\ell }_1$ ならゲームは終わり利得は $(2,3)$、${\ell }_2$ なら利得は $(5,1)$ である。
• $R$ が選ばれたとき、プレイヤー 2 が $r_1$ または $r_2$ を選ぶ。$r_1$ ならゲームは終わり利得は $(3,1)$ である。
• $R$ のあと $r_2$ が選ばれたとき、プレイヤー 1 が $x$ または $y$ を選ぶ。$x$ なら利得は $(6,2)$、$y$ なら利得は $(3,5)$ である。

このゲームの部分ゲーム完全均衡において実現する利得を、（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）の組で求めよ。

3 つの企業 $1,2,3$ が同じ商品を生産し、次の順番で生産量を決める。

• まず企業 $1$ が生産量 $q_1(q_1\ge 0)$ を選ぶ。
• 企業 $2$ は $q_1$ を観察したうえで生産量 $q_2(q_2\ge 0)$ を選ぶ。
• 企業 $3$ は $q_1,q_2$ を観察したうえで生産量 $q_3(q_3\ge 0)$ を選ぶ。

生産量はいずれも実数値をとれるものとする。総生産量を $Q=q_1+q_2+q_3$ とすると、商品の価格は $P=36-Q$ で決まり、どの企業も 1 単位あたりの生産費用は $4$ である。したがって企業 $i$ の利得（利潤）は
$${\pi }_i=(36-Q)q_i-4q_i=(32-Q)q_i(i=1,2,3)$$
である。この完全情報の展開形ゲームの部分ゲーム完全均衡において、均衡経路上で実現する利潤の組 $({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3)$ を求めよ。

プレイヤー 1, 2 が大きさ $1$ のパイの分け方を、最大 $4$ ラウンドの交互提案で交渉する。

• ラウンド $t=1,3$ ではプレイヤー 1 が、ラウンド $t=2,4$ ではプレイヤー 2 が分配 $(x_1,x_2)$（$x_1\ge 0,x_2\ge 0,x_1+x_2=1$、$x_i$ はプレイヤー $i$ の取り分で実数）を提案する。
• 提案されなかった側のプレイヤーは、その提案を受け入れるか拒否するかを選ぶ。受け入れればその分配で交渉は終わる。拒否すれば次のラウンドに進む。
• ラウンド $4$ の提案も拒否された場合、2 人の利得はともに $0$ である。
• ラウンド $t$ で分配 $(x_1,x_2)$ に合意したとき、プレイヤー $i$ の利得は ${\delta }_i^{t-1}{x}_i$ である。ここで ${\delta }_1=\frac{2}{3},{\delta }_2=\frac{1}{2}$ とする。

各プレイヤーは、受け入れても拒否しても利得が等しいときは受け入れるものとする。このゲームの部分ゲーム完全均衡において、ラウンド $1$ で合意される分配 $(x_1,x_2)$ を求めよ。

ある商品の市場に、既存企業 $1$ と参入を検討している企業 $2$ がいる。次の展開形ゲームを考える。

1. まず企業 $1$ が生産量 $q_1(q_1\ge 0)$ を選ぶ。
2. 企業 $2$ は $q_1$ を観察したうえで、「参入しない」か「参入する」かを選ぶ。参入する場合は、同時に生産量 $q_2(q_2\ge 0)$ を選ぶ。

市場価格は総生産量 $Q$（企業 $2$ が参入しないときは $Q=q_1$、参入するときは $Q=q_1+q_2$）に対して $P=\max \{12-Q,0\}$ で決まる。どちらの企業も生産費用は $0$ である。企業 $2$ が参入するときは、生産量によらず参入費用 $4$ がかかる。各企業の利得は利潤であり、企業 $1$ の利潤は $P{q}_1$、企業 $2$ の利潤は参入しないとき $0$、参入するとき $P{q}_2-4$ である。また、企業 $2$ は、参入しても参入しなくても利潤が等しくなるときは参入しないものとする。

このゲームの部分ゲーム完全均衡における企業 $1$ の生産量 $q_1$ と企業 $1$ の利潤を、この順に組で求めよ。

ある商品の市場に既存企業 $1$ と参入を検討している企業 $2$ がいる。次の $3$ 段階の展開形ゲームを考える。各段階で、それまでの行動はすべて両企業に観察される。

1. 企業 $1$ が費用削減のための投資水準 $x(0\le x\le 4)$ を選ぶ。投資費用は $2x^2$ で、投資後の企業 $1$ の限界費用（一定）は $4-x$ になる。
2. 企業 $2$ は $x$ を観察したうえで、参入するかしないかを選ぶ。参入するときは固定費用 $\frac{9}{4}$ がかかり、限界費用（一定）は $4$ である。参入しないときの企業 $2$ の利得は $0$ である。
3. 企業 $2$ が参入した場合、両企業は生産量 $q_1\ge 0,q_2\ge 0$ を同時に選ぶ（クールノー競争）。参入しなかった場合、企業 $1$ が単独で生産量 $q_1\ge 0$ を選ぶ。

総生産量を $Q$ とすると価格は $p=\max \{12-Q,0\}$ である。企業 $1$ の利得は $p{q}_1-(4-x)q_1-2x^2$、参入した企業 $2$ の利得は $p{q}_2-4q_2-\frac{9}{4}$ とする。また、企業 $2$ は参入した場合の利得が $0$ より真に大きいときに限り参入する（利得が $0$ のときは参入しない）。

このゲームの部分ゲーム完全均衡において、企業 $1$ が選ぶ投資水準 $x$ と、均衡における企業 $1$ の利得を、この順に組 $(x,\text{企業 1 の利得})$ で求めよ。