ゲーム理論の問題

プレイヤー $1,2$ が、次の完全情報の展開形ゲームを行う。各プレイヤーは手番が来たとき、それまでの行動をすべて知っている。利得は（プレイヤー $1$ の利得, プレイヤー $2$ の利得）の順に書く。

• 第 $1$手番：プレイヤー $1$ が「止める $T$」か「続ける $C$」を選ぶ。$T$ ならゲームは終わり、利得は $(2,0)$ である。$C$ なら第 $2$ 手番へ進む。
• 第 $2$ 手番：プレイヤー $2$ が $T$ か $C$ を選ぶ。$T$ ならゲームは終わり、利得は $(1,3)$ である。$C$ なら第 $3$ 手番へ進む。
• 第 $3$ 手番：プレイヤー $1$ が $T$ か $C$ を選ぶ。$T$ なら利得は $(4,2)$、$C$ なら利得は $(3,5)$ でゲームは終わる。

各プレイヤーは自分の利得を最大にするように行動する。このゲームの部分ゲーム完全均衡において実現する利得の組を、（プレイヤー $1$ の利得, プレイヤー $2$ の利得）の順に求めよ。

プレイヤー 1, 2 による次の完全情報の展開形ゲームを考える。各手番では「やめる（$S$）」か「続ける（$C$）」のどちらかを選ぶ。利得は（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）の順に書く。

• 手番 1：プレイヤー 1 が選ぶ。$S$ ならゲームは終わり、利得は $(2,1)$。$C$ なら手番 2 へ進む。
• 手番 2：プレイヤー 2 が選ぶ。$S$ ならゲームは終わり、利得は $(1,2)$。$C$ なら手番 3 へ進む。
• 手番 3：プレイヤー 1 が選ぶ。$S$ なら利得は $(5,3)$、$C$ なら利得は $(4,6)$ でゲームは終わる。

それぞれの手番で選ぶプレイヤーは、それまでの選択をすべて知っている。後ろ向き帰納法によって部分ゲーム完全均衡を求め、その均衡で実現する利得の組を（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）の形で求めよ。

プレイヤー $1$, $2$ が、テーブルの上のお金をめぐって次の完全情報の展開形ゲームを行う。各プレイヤーはそれまでの行動をすべて観察してから行動を選ぶ。利得は（プレイヤー $1$ の利得, プレイヤー $2$ の利得）の順に書く。

• 第 $1$ 手番：プレイヤー $1$ が「取る」か「渡す」を選ぶ。「取る」ならゲームは終わり、利得は $(2,0)$ である。
• 第 $2$ 手番（第 $1$ 手番で「渡す」が選ばれたとき）：プレイヤー $2$ が「取る」か「渡す」を選ぶ。「取る」ならゲームは終わり、利得は $(1,3)$ である。
• 第 $3$ 手番（第 $2$ 手番で「渡す」が選ばれたとき）：プレイヤー $1$ が「取る」か「渡す」を選ぶ。「取る」なら利得は $(4,2)$、「渡す」なら利得は $(3,5)$ でゲームは終わる。

各プレイヤーは自分の利得を最大にするように行動する。このゲームの部分ゲーム完全均衡で実現する利得の組を（プレイヤー $1$ の利得, プレイヤー $2$ の利得）の形で求めよ。

3 つの企業 $1,2,3$ が同じ商品を生産し、次の順番で生産量を決める。

• まず企業 $1$ が生産量 $q_1(q_1\ge 0)$ を選ぶ。
• 企業 $2$ は $q_1$ を観察したうえで生産量 $q_2(q_2\ge 0)$ を選ぶ。
• 企業 $3$ は $q_1,q_2$ を観察したうえで生産量 $q_3(q_3\ge 0)$ を選ぶ。

生産量はいずれも実数値をとれるものとする。総生産量を $Q=q_1+q_2+q_3$ とすると、商品の価格は $P=36-Q$ で決まり、どの企業も 1 単位あたりの生産費用は $4$ である。したがって企業 $i$ の利得（利潤）は
$${\pi }_i=(36-Q)q_i-4q_i=(32-Q)q_i(i=1,2,3)$$
である。この完全情報の展開形ゲームの部分ゲーム完全均衡において、均衡経路上で実現する利潤の組 $({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3)$ を求めよ。

$a,b,c,d$ を正の実数とする。プレイヤー 1 は戦略 $U,D$ のどちらかを、プレイヤー 2 は戦略 $L,R$ のどちらかを同時に選ぶ 2 人ゲームを考える。各戦略の組での利得（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）は次のとおりである。
$$(U,L):(a,0),(U,R):(0,c),(D,L):(0,d),(D,R):(b,0)$$
プレイヤー 1 が確率 $p$ で $U$、確率 $1-p$ で $D$ を選び、プレイヤー 2 が確率 $q$ で $L$、確率 $1-q$ で $R$ を選ぶ混合戦略の組を $(p,q)\in [0,1{]}^2$ で表し、2 人は独立に戦略を選ぶとする。$(p,q)$ が混合戦略のナッシュ均衡であるとは、$p$ が $q$ に対してプレイヤー 1 の期待利得を最大にし（$[0,1]$ の中で）、かつ $q$ が $p$ に対してプレイヤー 2 の期待利得を最大にすることをいう。

このゲームの混合戦略のナッシュ均衡はただ 1 つであり、その均衡におけるプレイヤー 1 の期待利得は $\frac{ab}{a+b}$ であることを証明せよ。