ゲーム理論の問題

プレイヤー $1$, $2$ が、テーブルの上のお金をめぐって次の完全情報の展開形ゲームを行う。各プレイヤーはそれまでの行動をすべて観察してから行動を選ぶ。利得は（プレイヤー $1$ の利得, プレイヤー $2$ の利得）の順に書く。

• 第 $1$ 手番：プレイヤー $1$ が「取る」か「渡す」を選ぶ。「取る」ならゲームは終わり、利得は $(2,0)$ である。
• 第 $2$ 手番（第 $1$ 手番で「渡す」が選ばれたとき）：プレイヤー $2$ が「取る」か「渡す」を選ぶ。「取る」ならゲームは終わり、利得は $(1,3)$ である。
• 第 $3$ 手番（第 $2$ 手番で「渡す」が選ばれたとき）：プレイヤー $1$ が「取る」か「渡す」を選ぶ。「取る」なら利得は $(4,2)$、「渡す」なら利得は $(3,5)$ でゲームは終わる。

各プレイヤーは自分の利得を最大にするように行動する。このゲームの部分ゲーム完全均衡で実現する利得の組を（プレイヤー $1$ の利得, プレイヤー $2$ の利得）の形で求めよ。

プレイヤー 1, 2 による次の完全情報の展開形ゲームを考える。各手番では「やめる（$S$）」か「続ける（$C$）」のどちらかを選ぶ。利得は（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）の順に書く。

• 手番 1：プレイヤー 1 が選ぶ。$S$ ならゲームは終わり、利得は $(2,1)$。$C$ なら手番 2 へ進む。
• 手番 2：プレイヤー 2 が選ぶ。$S$ ならゲームは終わり、利得は $(1,2)$。$C$ なら手番 3 へ進む。
• 手番 3：プレイヤー 1 が選ぶ。$S$ なら利得は $(5,3)$、$C$ なら利得は $(4,6)$ でゲームは終わる。

それぞれの手番で選ぶプレイヤーは、それまでの選択をすべて知っている。後ろ向き帰納法によって部分ゲーム完全均衡を求め、その均衡で実現する利得の組を（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）の形で求めよ。

プレイヤー 1, 2 による次の完全情報の展開形ゲームを考える。利得は（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）の順に書く。

• まずプレイヤー 1 が $L$ または $R$ を選ぶ。
• $L$ が選ばれたとき、プレイヤー 2 が ${\ell }_1$ または ${\ell }_2$ を選ぶ。${\ell }_1$ ならゲームは終わり利得は $(2,3)$、${\ell }_2$ なら利得は $(5,1)$ である。
• $R$ が選ばれたとき、プレイヤー 2 が $r_1$ または $r_2$ を選ぶ。$r_1$ ならゲームは終わり利得は $(3,1)$ である。
• $R$ のあと $r_2$ が選ばれたとき、プレイヤー 1 が $x$ または $y$ を選ぶ。$x$ なら利得は $(6,2)$、$y$ なら利得は $(3,5)$ である。

このゲームの部分ゲーム完全均衡において実現する利得を、（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）の組で求めよ。

プレイヤー 1, 2 が、$9000$ 円を 2 人でどう分けるかを、最大 $3$ ラウンドの交互提案の交渉で決める。

• ラウンド $1$ と $3$ ではプレイヤー 1 が、ラウンド $2$ ではプレイヤー 2 が提案者になる。提案者は分け方 $(x_1,x_2)$（$x_1+x_2=9000$, $x_1\ge 0$, $x_2\ge 0$、$x_i$ はプレイヤー $i$ の取り分で実数）を提案し、もう一方のプレイヤー（応答者）が受諾するか拒否するかを選ぶ。
• 受諾されればその分け方で交渉は終わる。拒否されれば次のラウンドに進む。ラウンド $3$ の提案が拒否された場合は、2 人とも $0$ 円を受け取る。
• ラウンド $t$ で分け方 $(x_1,x_2)$ が合意されたとき、プレイヤー $i$ の利得は ${\delta }_i^{t-1}{x}_i$ とする。割引因子は ${\delta }_1=\frac{1}{2}$, ${\delta }_2=\frac{2}{3}$ である。
• 応答者は、受諾と拒否で利得が等しいときは受諾する。

このゲームの部分ゲーム完全均衡における、プレイヤー 1 の利得とプレイヤー 2 の利得を、この順に組で求めよ。

プレイヤー 1, 2 が、賞金 $90$ 万円の分け方を次の交互提案の交渉で決める。交渉は最大 $3$ ラウンドである。

• ラウンド $1$ とラウンド $3$ ではプレイヤー 1 が、ラウンド $2$ ではプレイヤー 2 が提案者になり、分配 $(x_1,x_2)$（$x_1\ge 0,x_2\ge 0,x_1+x_2=90$、単位は万円）を提案する。もう一方のプレイヤーは受諾か拒否を選ぶ。
• 受諾されればその分配で交渉は終わる。拒否されれば次のラウンドに進む。ラウンド $3$ の提案も拒否されたら、両者とも $0$ 万円を得る。
• ラウンド $t$ で分配 $(x_1,x_2)$ が受諾されたとき、プレイヤー $i$ の利得は ${\delta }_i^{t-1}{x}_i$ とする。ここで割引因子は ${\delta }_1=\frac{1}{2}$, ${\delta }_2=\frac{2}{3}$ である。
• 受諾と拒否で利得が等しいとき、応答者は受諾するものとする。

このゲームの部分ゲーム完全均衡におけるプレイヤー 1 の利得とプレイヤー 2 の利得を、この順に組 $(u_1,u_2)$ で答えよ。