ゲーム理論の問題

プレイヤー 1, 2 が、賞金 $90$ 万円の分け方を次の交互提案の交渉で決める。交渉は最大 $3$ ラウンドである。

• ラウンド $1$ とラウンド $3$ ではプレイヤー 1 が、ラウンド $2$ ではプレイヤー 2 が提案者になり、分配 $(x_1,x_2)$（$x_1\ge 0,x_2\ge 0,x_1+x_2=90$、単位は万円）を提案する。もう一方のプレイヤーは受諾か拒否を選ぶ。
• 受諾されればその分配で交渉は終わる。拒否されれば次のラウンドに進む。ラウンド $3$ の提案も拒否されたら、両者とも $0$ 万円を得る。
• ラウンド $t$ で分配 $(x_1,x_2)$ が受諾されたとき、プレイヤー $i$ の利得は ${\delta }_i^{t-1}{x}_i$ とする。ここで割引因子は ${\delta }_1=\frac{1}{2}$, ${\delta }_2=\frac{2}{3}$ である。
• 受諾と拒否で利得が等しいとき、応答者は受諾するものとする。

このゲームの部分ゲーム完全均衡におけるプレイヤー 1 の利得とプレイヤー 2 の利得を、この順に組 $(u_1,u_2)$ で答えよ。

プレイヤー 1, 2 が $120$ 万円の分け方を、最大 $3$ ラウンドの交互提案で交渉する。

• ラウンド $t=1,3$ ではプレイヤー 1 が、ラウンド $t=2$ ではプレイヤー 2 が提案者となり、分配 $(x_1,x_2)$（$x_1+x_2=120$、$x_1\ge 0$、$x_2\ge 0$ の実数）を提案する。もう一方のプレイヤー（応答者）は受諾か拒否を選ぶ。
• 受諾されればその分配で交渉は終わる。拒否されれば次のラウンドに進む。ラウンド $3$ の提案も拒否された場合は、両者の取り分はともに $0$ になる。
• ラウンド $t$ で分配 $(x_1,x_2)$ に合意したとき、プレイヤー $i$ の利得は ${\delta }_i^{t-1}{x}_i$ である。ここで割引因子は ${\delta }_1=\frac{1}{2}$、${\delta }_2=\frac{2}{3}$ とする。
• 応答者は、受諾しても拒否しても利得が等しいときは受諾するものとする。

このゲームの部分ゲーム完全均衡におけるプレイヤー 1 の利得 $u_1$ とプレイヤー 2 の利得 $u_2$ を、組 $(u_1,u_2)$ の形で求めよ（単位は万円）。

プレイヤー 1, 2 が、大きさ $1$ のケーキの分け方を次の交互提案の交渉で決める。交渉は最大 $4$ ラウンドで、ラウンド $1,3$ ではプレイヤー 1 が、ラウンド $2,4$ ではプレイヤー 2 が提案者になる。

• 各ラウンドで、提案者はプレイヤー 1 の取り分 $x$ とプレイヤー 2 の取り分 $1-x$（$0\le x\le 1$ の実数）を提案する。
• もう一方のプレイヤー（応答者）は、それを見てから受諾するか拒否するかを選ぶ。受諾すればその分け方で交渉は終わる。拒否すれば次のラウンドに進む。
• ラウンド $4$ の提案も拒否された場合、2 人の利得はともに $0$ である。
• ラウンド $t(t=1,2,3,4)$ で分け方 $(x,1-x)$ が受諾されたとき、プレイヤー 1 の利得は ${\left(\frac{3}{5}\right)}^{t-1}x$、プレイヤー 2 の利得は ${\left(\frac{4}{5}\right)}^{t-1}(1-x)$ である。

このゲームを完全情報の展開形ゲームとみなし、応答者は受諾と拒否が無差別なときは受諾するものとする。このとき部分ゲーム完全均衡はただ 1 つに定まる。部分ゲーム完全均衡におけるプレイヤー 1 の利得を求めよ。

プレイヤー 1, 2 が大きさ $1$ のパイの分け方を、最大 $4$ ラウンドの交互提案で交渉する。

• ラウンド $t=1,3$ ではプレイヤー 1 が、ラウンド $t=2,4$ ではプレイヤー 2 が分配 $(x_1,x_2)$（$x_1\ge 0,x_2\ge 0,x_1+x_2=1$、$x_i$ はプレイヤー $i$ の取り分で実数）を提案する。
• 提案されなかった側のプレイヤーは、その提案を受け入れるか拒否するかを選ぶ。受け入れればその分配で交渉は終わる。拒否すれば次のラウンドに進む。
• ラウンド $4$ の提案も拒否された場合、2 人の利得はともに $0$ である。
• ラウンド $t$ で分配 $(x_1,x_2)$ に合意したとき、プレイヤー $i$ の利得は ${\delta }_i^{t-1}{x}_i$ である。ここで ${\delta }_1=\frac{2}{3},{\delta }_2=\frac{1}{2}$ とする。

各プレイヤーは、受け入れても拒否しても利得が等しいときは受け入れるものとする。このゲームの部分ゲーム完全均衡において、ラウンド $1$ で合意される分配 $(x_1,x_2)$ を求めよ。

プレイヤー $1,2$ が、次の完全情報の展開形ゲームを行う。各プレイヤーは手番が来たとき、それまでの行動をすべて知っている。利得は（プレイヤー $1$ の利得, プレイヤー $2$ の利得）の順に書く。

• 第 $1$手番：プレイヤー $1$ が「止める $T$」か「続ける $C$」を選ぶ。$T$ ならゲームは終わり、利得は $(2,0)$ である。$C$ なら第 $2$ 手番へ進む。
• 第 $2$ 手番：プレイヤー $2$ が $T$ か $C$ を選ぶ。$T$ ならゲームは終わり、利得は $(1,3)$ である。$C$ なら第 $3$ 手番へ進む。
• 第 $3$ 手番：プレイヤー $1$ が $T$ か $C$ を選ぶ。$T$ なら利得は $(4,2)$、$C$ なら利得は $(3,5)$ でゲームは終わる。

各プレイヤーは自分の利得を最大にするように行動する。このゲームの部分ゲーム完全均衡において実現する利得の組を、（プレイヤー $1$ の利得, プレイヤー $2$ の利得）の順に求めよ。