ゲーム理論の問題

プレイヤー $1,2$ が、次の完全情報の展開形ゲームを行う。各プレイヤーは手番が来たとき、それまでの行動をすべて知っている。利得は（プレイヤー $1$ の利得, プレイヤー $2$ の利得）の順に書く。

• 第 $1$手番：プレイヤー $1$ が「止める $T$」か「続ける $C$」を選ぶ。$T$ ならゲームは終わり、利得は $(2,0)$ である。$C$ なら第 $2$ 手番へ進む。
• 第 $2$ 手番：プレイヤー $2$ が $T$ か $C$ を選ぶ。$T$ ならゲームは終わり、利得は $(1,3)$ である。$C$ なら第 $3$ 手番へ進む。
• 第 $3$ 手番：プレイヤー $1$ が $T$ か $C$ を選ぶ。$T$ なら利得は $(4,2)$、$C$ なら利得は $(3,5)$ でゲームは終わる。

各プレイヤーは自分の利得を最大にするように行動する。このゲームの部分ゲーム完全均衡において実現する利得の組を、（プレイヤー $1$ の利得, プレイヤー $2$ の利得）の順に求めよ。

プレイヤー $1$, $2$ が、テーブルの上のお金をめぐって次の完全情報の展開形ゲームを行う。各プレイヤーはそれまでの行動をすべて観察してから行動を選ぶ。利得は（プレイヤー $1$ の利得, プレイヤー $2$ の利得）の順に書く。

• 第 $1$ 手番：プレイヤー $1$ が「取る」か「渡す」を選ぶ。「取る」ならゲームは終わり、利得は $(2,0)$ である。
• 第 $2$ 手番（第 $1$ 手番で「渡す」が選ばれたとき）：プレイヤー $2$ が「取る」か「渡す」を選ぶ。「取る」ならゲームは終わり、利得は $(1,3)$ である。
• 第 $3$ 手番（第 $2$ 手番で「渡す」が選ばれたとき）：プレイヤー $1$ が「取る」か「渡す」を選ぶ。「取る」なら利得は $(4,2)$、「渡す」なら利得は $(3,5)$ でゲームは終わる。

各プレイヤーは自分の利得を最大にするように行動する。このゲームの部分ゲーム完全均衡で実現する利得の組を（プレイヤー $1$ の利得, プレイヤー $2$ の利得）の形で求めよ。

プレイヤー 1, 2 による次の完全情報の展開形ゲームを考える。利得は（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）の順に書く。

• まずプレイヤー 1 が $L$ または $R$ を選ぶ。
• $L$ が選ばれたとき、プレイヤー 2 が ${\ell }_1$ または ${\ell }_2$ を選ぶ。${\ell }_1$ ならゲームは終わり利得は $(2,3)$、${\ell }_2$ なら利得は $(5,1)$ である。
• $R$ が選ばれたとき、プレイヤー 2 が $r_1$ または $r_2$ を選ぶ。$r_1$ ならゲームは終わり利得は $(3,1)$ である。
• $R$ のあと $r_2$ が選ばれたとき、プレイヤー 1 が $x$ または $y$ を選ぶ。$x$ なら利得は $(6,2)$、$y$ なら利得は $(3,5)$ である。

このゲームの部分ゲーム完全均衡において実現する利得を、（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）の組で求めよ。

プレイヤー 1 は戦略 $U$ か $D$ を、プレイヤー 2 は戦略 $L$ か $R$ を、互いの選択を知らずに同時に 1 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりである。各欄は（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）を表す。

このゲームには純粋戦略ナッシュ均衡がなく、混合戦略ナッシュ均衡がただ 1 つある。その均衡で、プレイヤー 1 が $U$ を選ぶ確率を $p$、プレイヤー 2 が $L$ を選ぶ確率を $q$ とする。$(p,q)$ をこの順に求めよ。

プレイヤー 1 は戦略 $U$ か $D$ を、プレイヤー 2 は戦略 $L$ か $R$ を、互いの選択を知らずに同時に 1 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりである。各欄の $(a,b)$ は、$a$ がプレイヤー 1 の利得、$b$ がプレイヤー 2 の利得を表す。

このゲームには純粋戦略ナッシュ均衡がなく、混合戦略ナッシュ均衡がただ 1 つ存在する。その均衡で、プレイヤー 1 が $U$ を選ぶ確率を $p$、プレイヤー 2 が $L$ を選ぶ確率を $q$ とする。$(p,q)$ をこの順に組で求めよ。