ゲーム理論の問題

プレイヤー 1, 2 による次の完全情報の展開形ゲームを考える。利得は（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）の順に書く。

• まずプレイヤー 1 が $L$ または $R$ を選ぶ。
• $L$ が選ばれたとき、プレイヤー 2 が ${\ell }_1$ または ${\ell }_2$ を選ぶ。${\ell }_1$ ならゲームは終わり利得は $(2,3)$、${\ell }_2$ なら利得は $(5,1)$ である。
• $R$ が選ばれたとき、プレイヤー 2 が $r_1$ または $r_2$ を選ぶ。$r_1$ ならゲームは終わり利得は $(3,1)$ である。
• $R$ のあと $r_2$ が選ばれたとき、プレイヤー 1 が $x$ または $y$ を選ぶ。$x$ なら利得は $(6,2)$、$y$ なら利得は $(3,5)$ である。

このゲームの部分ゲーム完全均衡において実現する利得を、（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）の組で求めよ。

ある商品の市場に、既存企業 $1$ と参入を検討している企業 $2$ がいる。次の展開形ゲームを考える。

1. まず企業 $1$ が生産量 $q_1(q_1\ge 0)$ を選ぶ。
2. 企業 $2$ は $q_1$ を観察したうえで、「参入しない」か「参入する」かを選ぶ。参入する場合は、同時に生産量 $q_2(q_2\ge 0)$ を選ぶ。

市場価格は総生産量 $Q$（企業 $2$ が参入しないときは $Q=q_1$、参入するときは $Q=q_1+q_2$）に対して $P=\max \{12-Q,0\}$ で決まる。どちらの企業も生産費用は $0$ である。企業 $2$ が参入するときは、生産量によらず参入費用 $4$ がかかる。各企業の利得は利潤であり、企業 $1$ の利潤は $P{q}_1$、企業 $2$ の利潤は参入しないとき $0$、参入するとき $P{q}_2-4$ である。また、企業 $2$ は、参入しても参入しなくても利潤が等しくなるときは参入しないものとする。

このゲームの部分ゲーム完全均衡における企業 $1$ の生産量 $q_1$ と企業 $1$ の利潤を、この順に組で求めよ。

2 つの企業 $1,2$ が同じ商品を生産し、生産量を同時に 1 回だけ選ぶ。企業 $1$ の生産量を $x$、企業 $2$ の生産量を $y$ とし、$x,y$ はどちらも $0$ 以上の実数とする。

商品の価格は $p=14-x-y$ で決まる（この式が負になる場合もそのまま用いる）。1 単位あたりの生産費用は、企業 $1$ が $2$、企業 $2$ が $5$ である。各企業の利得は利潤
$$u_1(x,y)=x(14-x-y)-2x,u_2(x,y)=y(14-x-y)-5y$$
とする。

このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡 $(x,y)$ を求めよ。

2 つの企業 1, 2 が、同じ商品の生産量をそれぞれ同時に 1 回だけ選ぶ。企業 1 の生産量を $x$、企業 2 の生産量を $y$ とし、$x,y$ はどちらも $\{0,1,2,\dots ,10\}$ の中から選ぶ（整数値しか選べない）。各企業の利得は
$$u_1(x,y)=x(10-x-y),u_2(x,y)=y(10-x-y)$$
で与えられる（値が負になることもある）。各企業は自分の利得を最大にしようとする。

この 2 人ゲームの純粋戦略のナッシュ均衡 $(x,y)$ の個数を求めよ。

プレイヤー $1,2$ が、次の完全情報の展開形ゲームを行う。各プレイヤーは手番が来たとき、それまでの行動をすべて知っている。利得は（プレイヤー $1$ の利得, プレイヤー $2$ の利得）の順に書く。

• 第 $1$手番：プレイヤー $1$ が「止める $T$」か「続ける $C$」を選ぶ。$T$ ならゲームは終わり、利得は $(2,0)$ である。$C$ なら第 $2$ 手番へ進む。
• 第 $2$ 手番：プレイヤー $2$ が $T$ か $C$ を選ぶ。$T$ ならゲームは終わり、利得は $(1,3)$ である。$C$ なら第 $3$ 手番へ進む。
• 第 $3$ 手番：プレイヤー $1$ が $T$ か $C$ を選ぶ。$T$ なら利得は $(4,2)$、$C$ なら利得は $(3,5)$ でゲームは終わる。

各プレイヤーは自分の利得を最大にするように行動する。このゲームの部分ゲーム完全均衡において実現する利得の組を、（プレイヤー $1$ の利得, プレイヤー $2$ の利得）の順に求めよ。