ゲーム理論の問題

2 つの企業 $1,2$ が、同じ商品の生産量を同時に 1 回だけ選ぶ。企業 $1$ の生産量を $x$、企業 $2$ の生産量を $y$ とし、$x,y$ はどちらも $0\leqq x\leqq 10$、$0\leqq y\leqq 10$ の範囲の実数から選ぶ。各企業の利得（利潤）は
$$u_1(x,y)=x(14-x-y),u_2(x,y)=y(10-x-y)$$
で与えられ、各企業は自分の利得を最大にしようとする。このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡はただ 1 つ存在する。その均衡 $(x,y)$ を求めよ。

2 つの企業 $1,2$ が同じ商品の生産量を同時に 1 回だけ選ぶ。企業 $1$ の生産量を $x$、企業 $2$ の生産量を $y$ とし、$x,y$ はどちらも $0\leqq x\leqq 6,0\leqq y\leqq 6$ の範囲の実数から選ぶ（生産能力の上限が $6$ である）。両企業の利得（利潤）はそれぞれ
$$u_1(x,y)=x(12-x-y),u_2(x,y)=y(9-x-y)$$
で与えられる。企業 $1$ の最適反応 $B{R}_1(y)$ と企業 $2$ の最適反応 $B{R}_2(x)$ を求め、純粋戦略ナッシュ均衡 $(x,y)$ を求めよ。答えは組 $(x,y)$ の形で答えよ。

2 つの企業 1, 2 が、同じ商品の生産量をそれぞれ同時に 1 回だけ選ぶ。企業 1 の生産量を $x$、企業 2 の生産量を $y$ とし、$x,y$ はどちらも $\{0,1,2,\dots ,10\}$ の中から選ぶ（整数値しか選べない）。各企業の利得は
$$u_1(x,y)=x(10-x-y),u_2(x,y)=y(10-x-y)$$
で与えられる（値が負になることもある）。各企業は自分の利得を最大にしようとする。

この 2 人ゲームの純粋戦略のナッシュ均衡 $(x,y)$ の個数を求めよ。

3 つの企業 $1,2,3$ が同じ商品を生産し、次の順番で生産量を決める。

• まず企業 $1$ が生産量 $q_1(q_1\ge 0)$ を選ぶ。
• 企業 $2$ は $q_1$ を観察したうえで生産量 $q_2(q_2\ge 0)$ を選ぶ。
• 企業 $3$ は $q_1,q_2$ を観察したうえで生産量 $q_3(q_3\ge 0)$ を選ぶ。

生産量はいずれも実数値をとれるものとする。総生産量を $Q=q_1+q_2+q_3$ とすると、商品の価格は $P=36-Q$ で決まり、どの企業も 1 単位あたりの生産費用は $4$ である。したがって企業 $i$ の利得（利潤）は
$${\pi }_i=(36-Q)q_i-4q_i=(32-Q)q_i(i=1,2,3)$$
である。この完全情報の展開形ゲームの部分ゲーム完全均衡において、均衡経路上で実現する利潤の組 $({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3)$ を求めよ。

プレイヤー 1 は戦略 $U$ か $D$ を、プレイヤー 2 は戦略 $L$ か $R$ を、互いの選択を知らずに同時に 1 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりである。各欄の $(a,b)$ は、$a$ がプレイヤー 1 の利得、$b$ がプレイヤー 2 の利得を表す。

このゲームには純粋戦略ナッシュ均衡がなく、混合戦略ナッシュ均衡がただ 1 つ存在する。その均衡で、プレイヤー 1 が $U$ を選ぶ確率を $p$、プレイヤー 2 が $L$ を選ぶ確率を $q$ とする。$(p,q)$ をこの順に組で求めよ。