ゲーム理論の問題

2 つの企業 $1,2$ が同じ商品の生産量を同時に 1 回だけ選ぶ。企業 $1$ の生産量を $x$、企業 $2$ の生産量を $y$ とし、$x,y$ はどちらも $0\leqq x\leqq 6,0\leqq y\leqq 6$ の範囲の実数から選ぶ（生産能力の上限が $6$ である）。両企業の利得（利潤）はそれぞれ
$$u_1(x,y)=x(12-x-y),u_2(x,y)=y(9-x-y)$$
で与えられる。企業 $1$ の最適反応 $B{R}_1(y)$ と企業 $2$ の最適反応 $B{R}_2(x)$ を求め、純粋戦略ナッシュ均衡 $(x,y)$ を求めよ。答えは組 $(x,y)$ の形で答えよ。

2 つの企業 1, 2 が、同じ商品の生産量をそれぞれ同時に 1 回だけ選ぶ。企業 1 の生産量を $x$、企業 2 の生産量を $y$ とし、$x,y$ はどちらも $\{0,1,2,\dots ,10\}$ の中から選ぶ（整数値しか選べない）。各企業の利得は
$$u_1(x,y)=x(10-x-y),u_2(x,y)=y(10-x-y)$$
で与えられる（値が負になることもある）。各企業は自分の利得を最大にしようとする。

この 2 人ゲームの純粋戦略のナッシュ均衡 $(x,y)$ の個数を求めよ。

2 つの企業 $1,2$ が同じ商品を生産し、生産量を同時に 1 回だけ選ぶ。企業 $1$ の生産量を $x$、企業 $2$ の生産量を $y$ とし、$x,y$ はどちらも $0$ 以上の実数とする。

商品の価格は $p=14-x-y$ で決まる（この式が負になる場合もそのまま用いる）。1 単位あたりの生産費用は、企業 $1$ が $2$、企業 $2$ が $5$ である。各企業の利得は利潤
$$u_1(x,y)=x(14-x-y)-2x,u_2(x,y)=y(14-x-y)-5y$$
とする。

このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡 $(x,y)$ を求めよ。

プレイヤー 1 は戦略 $U$ か $D$ を、プレイヤー 2 は戦略 $L$ か $R$ を、互いの選択を知らずに同時に 1 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりである。各欄の $(a,b)$ は、$a$ がプレイヤー 1 の利得、$b$ がプレイヤー 2 の利得を表す。

このゲームには純粋戦略ナッシュ均衡がなく、混合戦略ナッシュ均衡がただ 1 つ存在する。その均衡で、プレイヤー 1 が $U$ を選ぶ確率を $p$、プレイヤー 2 が $L$ を選ぶ確率を $q$ とする。$(p,q)$ をこの順に組で求めよ。

プレイヤー $1$ は戦略 $U,M,D$ のうち $1$ つを、プレイヤー $2$ は戦略 $L,C,R$ のうち $1$ つを、互いの選択を知らずに同時に $1$ 回だけ選ぶ。利得は次の表のとおりである。各欄の $(a,b)$ は、$a$ がプレイヤー $1$ の利得、$b$ がプレイヤー $2$ の利得を表す。

$$\begin{array}{cccc}& L& C& R\\ U& (3,2)& (0,1)& (2,3)\\ M& (1,0)& (2,2)& (1,1)\\ D& (2,3)& (1,0)& (0,2)\end{array}$$

各プレイヤーは自分の利得を最大にしようとする。このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡の個数を求めよ。