ゲーム理論の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学ゲーム理論

ある商品の市場に、既存企業 $1$ と参入を検討している企業 $2$ がいる。次の展開形ゲームを考える。

1. まず企業 $1$ が生産量 $q_{1} (q_{1} \geq 0)$ を選ぶ。
2. 企業 $2$ は $q_{1}$ を観察したうえで、「参入しない」か「参入する」かを選ぶ。参入する場合は、同時に生産量 $q_{2} (q_{2} \geq 0)$ を選ぶ。

市場価格は総生産量 $Q$ （企業 $2$ が参入しないときは $Q = q_{1}$ 、参入するときは $Q = q_{1} + q_{2}$ ）に対して $P = max {12 - Q, 0}$ で決まる。どちらの企業も生産費用は $0$ である。企業 $2$ が参入するときは、生産量によらず参入費用 $4$ がかかる。各企業の利得は利潤であり、企業 $1$ の利潤は $P q_{1}$ 、企業 $2$ の利潤は参入しないとき $0$ 、参入するとき $P q_{2} - 4$ である。また、企業 $2$ は、参入しても参入しなくても利潤が等しくなるときは参入しないものとする。

このゲームの部分ゲーム完全均衡における企業 $1$ の生産量 $q_{1}$ と企業 $1$ の利潤を、この順に組で求めよ。

この問題で使うもの

後ろ向き帰納法と部分ゲーム完全均衡（説明と入口の問題）
最適反応関数と数量競争（説明と入口の問題）
平方完成と 2 次関数のグラフ（説明と入口の問題）
定義域つきの2次関数の最大・最小（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（23 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

後ろ向き帰納法を使います。まず $q_{1}$ を固定して、企業 $2$ が参入するかどうかと、参入するときの最適な $q_{2}$ を求めましょう。

ヒント 2

参入したときの企業 $2$ の最大利潤は $\frac{( 12 - q _{1} ) ^{2}}{4} - 4$ です。これが正になる $q_{1}$ の範囲で企業 $2$ は参入します。

ヒント 3

企業 $2$ は $q_{1} < 8$ のときだけ参入します。企業 $1$ は「 $q_{1} \geq 8$ として参入を阻止する」場合と「 $q_{1} < 8$ として参入を許す」場合の最大利潤を比べます。

答えと解説

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(8, 32)

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解説を読む

部分ゲーム完全均衡は後ろ向き帰納法で求める。

企業 $2$ の最適反応

$q_{1}$ が与えられたとする。 $q_{1} \geq 12$ なら参入しても価格は $0$ で利潤は $- 4 < 0$ なので参入しない。 $0 \leq q_{1} < 12$ のとき、参入した場合の利潤は（ $q_{2} < 12 - q_{1}$ の範囲で）
$π_{2} = (12 - q_{1} - q_{2}) q_{2} - 4$
であり、 $q_{2}$ について最大化すると $\frac{\partial π _{2}}{\partial q _{2}} = 12 - q_{1} - 2 q_{2} = 0$ より $q_{2} = \frac{12 - q _{1}}{2}$ 、最大値は
$π_{2}^{*} = \frac{( 12 - q _{1} ) ^{2}}{4} - 4.$
参入するのは $π_{2}^{*} > 0$ のときなので
$\frac{( 12 - q _{1} ) ^{2}}{4} > 4 ⟺ 12 - q_{1} > 4 ⟺ q_{1} < 8.$
よって企業 $2$ は、 $q_{1} < 8$ なら参入して $q_{2} = \frac{12 - q _{1}}{2}$ を選び、 $q_{1} \geq 8$ なら参入しない（ $q_{1} = 8$ のときは利潤が等しく $0$ になるので、仮定より参入しない）。

企業 $1$ の最適化

(i) $q_{1} \geq 8$ （参入を阻止する）のとき、企業 $1$ は独占となり利潤は $π_{1} = q_{1} max {12 - q_{1}, 0}$ 。 $q_{1} (12 - q_{1})$ は $q_{1} = 6$ を頂点とする上に凸な $2$ 次関数なので、 $q_{1} \geq 8$ では $q_{1}$ について減少し、 $q_{1} = 8$ で最大値 $8 \cdot 4 = 32$ をとる。

(ii) $0 \leq q_{1} < 8$ （参入を許す）のとき、価格は $12 - q_{1} - \frac{12 - q _{1}}{2} = \frac{12 - q _{1}}{2}$ なので
$π_{1} = \frac{q _{1} ( 12 - q _{1} )}{2},$
これは $q_{1} = 6$ で最大値 $\frac{6 \cdot 6}{2} = 18$ をとる。

$32 > 18$ なので、企業 $1$ は $q_{1} = 8$ を選び、企業 $2$ は参入しない。企業 $1$ の利潤は $32$ である。

（企業 $2$ の均衡戦略は、上で求めた「 $q_{1} < 8$ なら参入して $q_{2} = \frac{12 - q _{1}}{2}$ 、 $q_{1} \geq 8$ なら参入しない」という、すべての $q_{1}$ に対する行動の指定である。）

答えは $(8, 32)$ である。

別解

後ろ向き帰納法で解く。

企業 2 の最適反応: $q_{1}$ $(0 \leq q_{1} < 12)$ を見て参入するとき、利潤 $(12 - q_{1} - q_{2}) q_{2} - 4$ を最大にする $q_{2} = \frac{12 - q _{1}}{2}$ 、そのときの利潤は $\frac{( 12 - q _{1} ) ^{2}}{4} - 4$ 。参入するのはこれが $0$ より大きいとき、すなわち $12 - q_{1} > 4 ⟺ q_{1} < 8$ （ $q_{1} = 8$ では等しいので参入しない。 $q_{1} \geq 12$ なら価格 $0$ で明らかに参入しない）。

企業 1 の選択:
- 参入阻止 ( $q_{1} \geq 8$ ): 利潤 $q_{1} max {12 - q_{1}, 0}$ 。 $8 \leq q_{1}$ では減少関数（頂点は $q_{1} = 6$ ）なので $q_{1} = 8$ で最大、利潤 $8 \cdot 4 = 32$ 。
- 参入容認 ( $q_{1} < 8$ ): 価格 $12 - q_{1} - \frac{12 - q _{1}}{2} = \frac{12 - q _{1}}{2}$ 、利潤 $\frac{q _{1} ( 12 - q _{1} )}{2}$ 。 $q_{1} = 6$ で最大 $18$ 。

$32 > 18$ なので均衡では $q_{1} = 8$ 、企業 2 は参入せず、企業 1 の利潤は $32$ 。

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