ゲーム理論の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学数学ゲーム理論

ある商品の市場に既存企業 $1$ と参入を検討している企業 $2$ がいる。次の $3$ 段階の展開形ゲームを考える。各段階で、それまでの行動はすべて両企業に観察される。

1. 企業 $1$ が費用削減のための投資水準 $x (0 \leq x \leq 4)$ を選ぶ。投資費用は $2 x^{2}$ で、投資後の企業 $1$ の限界費用（一定）は $4 - x$ になる。
2. 企業 $2$ は $x$ を観察したうえで、参入するかしないかを選ぶ。参入するときは固定費用 $\frac{9}{4}$ がかかり、限界費用（一定）は $4$ である。参入しないときの企業 $2$ の利得は $0$ である。
3. 企業 $2$ が参入した場合、両企業は生産量 $q_{1} \geq 0, q_{2} \geq 0$ を同時に選ぶ（クールノー競争）。参入しなかった場合、企業 $1$ が単独で生産量 $q_{1} \geq 0$ を選ぶ。

総生産量を $Q$ とすると価格は $p = max {12 - Q, 0}$ である。企業 $1$ の利得は $p q_{1} - (4 - x) q_{1} - 2 x^{2}$ 、参入した企業 $2$ の利得は $p q_{2} - 4 q_{2} - \frac{9}{4}$ とする。また、企業 $2$ は参入した場合の利得が $0$ より真に大きいときに限り参入する（利得が $0$ のときは参入しない）。

このゲームの部分ゲーム完全均衡において、企業 $1$ が選ぶ投資水準 $x$ と、均衡における企業 $1$ の利得を、この順に組 $(x, 企業 1 の利得)$ で求めよ。

この問題で使うもの

後ろ向き帰納法と部分ゲーム完全均衡（説明と入口の問題）
最適反応関数と数量競争（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（23 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

後ろ向き帰納法を使う。まず第 3 段階のクールノー均衡と独占の解を $x$ の関数として求め、次に企業 2 の参入条件を $x$ の条件に直す。

ヒント 2

参入ありのとき $q_{1} = \frac{8 + 2 x}{3}, q_{2} = \frac{8 - x}{3}$ 、参入なしのとき $q_{1} = \frac{8 + x}{2}$ 。企業 2 は $\frac{( 8 - x ) ^{2}}{9} > \frac{9}{4}$ のときだけ参入する。

ヒント 3

参入は $x < \frac{7}{2}$ のときに起こる。企業 1 は「 $x < \frac{7}{2}$ で $\frac{( 8 + 2 x ) ^{2}}{9} - 2 x^{2}$ を最大化する」場合と「 $x \geq \frac{7}{2}$ で $\frac{( 8 + x ) ^{2}}{4} - 2 x^{2}$ を最大化する」場合の最大値を比較する。後者の最大値は $x = \frac{7}{2}$ でとる。

答えと解説

答えを見る

(\frac{8}{7}, \frac{64}{7})

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

後ろ向き帰納法で解く。

第 3 段階（参入あり）：限界費用 $c_{1} = 4 - x, c_{2} = 4$ のクールノー競争。内点解を仮定すると、企業 $1$ の利得 $(12 - q_{1} - q_{2} - c_{1}) q_{1}$ を $q_{1}$ で微分して $0$ とおき $q_{1} = \frac{12 - c _{1} - q _{2}}{2}$ 、同様に $q_{2} = \frac{12 - c _{2} - q _{1}}{2}$ 。連立すると
$q_{1} = \frac{12 - 2 c _{1} + c _{2}}{3} = \frac{8 + 2 x}{3}, q_{2} = \frac{12 - 2 c _{2} + c _{1}}{3} = \frac{8 - x}{3} .$
$0 \leq x \leq 4$ でともに正で、価格は $p = 12 - \frac{16 + x}{3} = \frac{20 - x}{3} > 0$ なので内点解として正しく、この部分ゲームのナッシュ均衡は一意である。このとき $p - c_{1} = \frac{8 + 2 x}{3} = q_{1}$ 、 $p - c_{2} = \frac{8 - x}{3} = q_{2}$ より粗利潤は $q_{i}^{2}$ となり、
$π_{1}^{C} (x) = \frac{( 8 + 2 x ) ^{2}}{9} - 2 x^{2}, π_{2} = \frac{( 8 - x ) ^{2}}{9} - \frac{9}{4} .$

第 3 段階（参入なし）：独占で $q_{1} = \frac{12 - ( 4 - x )}{2} = \frac{8 + x}{2}$ 、このとき $p - c_{1} = \frac{8 + x}{2} = q_{1}$ で粗利潤は $q_{1}^{2}$ なので
$π_{1}^{M} (x) = \frac{( 8 + x ) ^{2}}{4} - 2 x^{2} .$

第 2 段階：企業 $2$ が参入するのは $\frac{( 8 - x ) ^{2}}{9} > \frac{9}{4}$ 、すなわち $8 - x > \frac{9}{2}$ （ $8 - x > 0$ より）、つまり $x < \frac{7}{2}$ のときに限る。

第 1 段階：企業 $1$ の利得は $x < \frac{7}{2}$ なら $π_{1}^{C} (x)$ 、 $x \geq \frac{7}{2}$ なら $π_{1}^{M} (x)$ 。

(i) 参入を許す場合（ $0 \leq x < \frac{7}{2}$ ）：
$\frac{d π _{1}^{C}}{d x} = \frac{4 ( 8 + 2 x )}{9} - 4 x = \frac{32 - 28 x}{9}$
で、 $π_{1}^{C}$ は $x^{2}$ の係数が $\frac{4}{9} - 2 < 0$ の凹関数なので最大は $x = \frac{8}{7}$ （区間内）。このとき
$π_{1}^{C} (\frac{8}{7}) = \frac{( 72/7 ) ^{2}}{9} - 2 \cdot \frac{64}{49} = \frac{576}{49} - \frac{128}{49} = \frac{448}{49} = \frac{64}{7} .$

(ii) 参入を阻止する場合（ $\frac{7}{2} \leq x \leq 4$ ）：
$\frac{d π _{1}^{M}}{d x} = \frac{8 + x}{2} - 4 x = \frac{8 - 7 x}{2} < 0 (x > \frac{8}{7})$
より最大は $x = \frac{7}{2}$ で
$π_{1}^{M} (\frac{7}{2}) = \frac{( 23/2 ) ^{2}}{4} - 2 \cdot \frac{49}{4} = \frac{529}{16} - \frac{392}{16} = \frac{137}{16} .$

比較すると $\frac{64}{7} = \frac{1024}{112} > \frac{959}{112} = \frac{137}{16}$ なので、参入を許す方がよい。よって部分ゲーム完全均衡で企業 $1$ は $x = \frac{8}{7}$ を選び、企業 $2$ は参入し（ $π_{2} = \frac{256}{49} - \frac{9}{4} > 0$ ）、生産量は $q_{1} = \frac{24}{7}, q_{2} = \frac{16}{7}$ 、企業 $1$ の利得は $\frac{64}{7}$ である。

答え： $(\frac{8}{7}, \frac{64}{7})$

別解

後ろ向き帰納法で解く。

【第3段階】企業 $1$ の限界費用を $c_{1} = 4 - x$ 、企業 $2$ の限界費用を $c_{2} = 4$ とする。

参入した場合のクールノー均衡は、
$q_{1} = \frac{12 - 2 c _{1} + c _{2}}{3} = \frac{8 + 2 x}{3}$ 、 $q_{2} = \frac{12 - 2 c _{2} + c _{1}}{3} = \frac{8 - x}{3}$ 。
$Q < 12$ なので価格は正であり、 $max$ の効果は生じない。

【第2段階】参入した企業 $2$ の利得は $q_{2}^{2} - \frac{9}{4}$ である。これが $0$ より真に大きい条件は $\frac{8 - x}{3} > \frac{3}{2}$ 、すなわち $x < \frac{7}{2}$ である。したがって $x < \frac{7}{2}$ なら参入し、 $x \geq \frac{7}{2}$ なら参入しない（ $x = \frac{7}{2}$ では利得が $0$ なので参入しない）。

【第1段階】
(a) 参入を許す場合（ $x < \frac{7}{2}$ ）
企業 $1$ の利得は $π_{1} = \frac{( 8 + 2 x ) ^{2}}{9} - 2 x^{2}$ である。
$π_{1}^{'} = \frac{4 ( 8 + 2 x )}{9} - 4 x = 0$ より $8 + 2 x = 9 x$ 、 $x = \frac{8}{7}$ 。これは $x < \frac{7}{2}$ を満たす。 $π_{1}$ は $x$ の 2 次式で $x^{2}$ の係数が $\frac{4}{9} - 2 < 0$ なので、この点が最大である。
$π_{1} = \frac{( 72/7 ) ^{2}}{9} - 2 \cdot \frac{64}{49} = \frac{576}{49} - \frac{128}{49} = \frac{448}{49} = \frac{64}{7} \approx 9.14$ 。

(b) 参入を阻止する場合（ $\frac{7}{2} \leq x \leq 4$ ）
独占の生産量は $q_{1} = \frac{8 + x}{2}$ で、利得は $\frac{( 8 + x ) ^{2}}{4} - 2 x^{2}$ である。
この導関数 $\frac{8 + x}{2} - 4 x$ は $x \geq \frac{7}{2}$ で負なので、利得は減少する。よって最大は $x = \frac{7}{2}$ で、
$\frac{( 23/2 ) ^{2}}{4} - 2 \cdot \frac{49}{4} = \frac{529}{16} - \frac{392}{16} = \frac{137}{16} \approx 8.56$ 。

(a) の $\frac{64}{7} \approx 9.14$ は (b) の $\frac{137}{16} \approx 8.56$ より大きい。したがって均衡では参入を許し、 $x = \frac{8}{7}$ 、企業 $1$ の利得は $\frac{64}{7}$ となる。

検算： $x = \frac{8}{7}$ のとき $c_{1} = \frac{20}{7}$ 、 $q_{1} = \frac{72}{21} = \frac{24}{7}$ 、 $q_{2} = \frac{48}{21} = \frac{16}{7}$ 、 $Q = \frac{40}{7}$ 、 $p = \frac{44}{7}$ である。
企業 $1$ の利得は $\frac{24}{7} (\frac{44}{7} - \frac{20}{7}) - \frac{128}{49} = \frac{576 - 128}{49} = \frac{64}{7}$ となり一致する。
企業 $2$ の利得は $\frac{256}{49} - \frac{9}{4} > 0$ である。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる

	$L$	$C$	$R$
$T$	$(3, 0)$	$(0, 6)$	$(2, 3)$
$M$	$(1, 5)$	$(1, 1)$	$(1, 0)$
$B$	$(0, 4)$	$(3, 0)$	$(1, 3)$