ゲーム理論の問題

$10$ 人のプレイヤー $1,2,\dots ,10$ が円形に並んでおり、プレイヤー $i$ の隣人はプレイヤー $i-1$ と $i+1$ である（添字は $10$ を法として考え、プレイヤー $0$ はプレイヤー $10$、プレイヤー $11$ はプレイヤー $1$ を表す）。各プレイヤー $i$ は同時に $1$ 回だけ、行動 $x_i\in \{0,1\}$ を選ぶ。プレイヤー $i$ の利得は、2 人の隣人のうち自分と異なる行動を選んだ人数とする。すなわち
$$u_i(x_1,\dots ,x_{10})=|x_i-x_{i-1}|+|x_i-x_{i+1}|$$
である。この $10$ 人ゲームの純粋戦略のナッシュ均衡（行動の組 $(x_1,\dots ,x_{10})$）の個数を求めよ。

区別のできる $6$ 人のドライバー $1,2,\dots ,6$ が、出発地から目的地へ向かう経路を、互いに相談せずに同時に $1$ つずつ選ぶ。経路は $A,B,C$ の $3$ 本である。ある経路を選んだドライバーの人数が $k$ 人（$k$ は正の整数）のとき、その経路を選んだ各ドライバーの所要時間（分）は
$$c_A(k)=3k,c_B(k)=2k+2,c_C(k)=k+6$$
である。各ドライバーは自分の所要時間を小さくしたい（利得は所要時間に $-1$ を掛けたもの）とする。

戦略の組（$6$ 人それぞれがどの経路を選ぶかの割り当て、全部で $3^6$ 通り）のうち、どのドライバーも自分だけ経路を変えることで所要時間を真に短くできないもの、すなわち純粋戦略のナッシュ均衡の個数を求めよ。

プレイヤー 1 は戦略 $T,M,B$ の中から、プレイヤー 2 は戦略 $L,C,R$ の中から、それぞれ同時に 1 つを選ぶ 2 人の戦略形ゲーム（双行列ゲーム）を考える。利得は次の表のとおりで、各欄は（プレイヤー 1 の利得, プレイヤー 2 の利得）の順に書いてある。

各プレイヤーは混合戦略（純粋戦略上の確率分布）を用いることができ、期待利得を最大化するものとする。このゲームの混合戦略の範囲でのナッシュ均衡はただ 1 つである。その均衡におけるプレイヤー 1 の期待利得とプレイヤー 2 の期待利得を、この順に組で求めよ。

区別のできる $9$ 人のプレイヤー $1,2,\dots ,9$ が、ある共同プロジェクトに「出資する」か「出資しない」かを同時に 1 回だけ選ぶ（クラウドファンディングのような、返金保証のある閾値型の公共財ゲーム）。出資した人数を $k$ とする。

• $k\ge 4$ のときプロジェクトは成立し、全員（出資しなかったプレイヤーも含む）が便益 $10$ を受け取る。このとき出資したプレイヤー $i$ は費用 $c_i$ を支払う。
• $k\le 3$ のときプロジェクトは不成立で、出資金は全額返金される。このとき全員の利得は $0$ である。

すなわちプレイヤー $i$ の利得は、成立したとき出資していれば $10-c_i$、出資していなければ $10$、不成立のときは出資の有無によらず $0$ である。費用は
$$c_1=c_2=c_3=c_4=c_5=3,c_6=c_7=c_8=c_9=12$$
とする。

この $9$ 人の戦略形ゲームにおいて、純粋戦略のナッシュ均衡（$2^9$ 通りの戦略の組のうち、どのプレイヤーも 1 人だけ戦略を変えて利得を真に増やすことができないもの）の個数を求めよ。

$4$ 人のプレイヤー $1,2,3,4$ が、共同の設備を作るために、それぞれ同時に「出資する（$C$）」か「出資しない（$D$）」かを 1 回だけ選ぶ。出資したプレイヤーの人数を $k$（$0\le k\le 4$）とする。

• $k\ge 2$ のとき設備が完成し、$4$ 人全員がそれぞれ $3$ の便益を得る。$k\le 1$ のときは設備は完成せず、便益は $0$ である。
• 出資したプレイヤーは、設備が完成するかどうかにかかわらず費用 $2$ を負担する。

各プレイヤーの利得は（便益）$-$（自分が負担した費用）とする。このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡（4 人の戦略の組）の個数を求めよ。