混雑ゲームの純粋均衡の数え上げ

区別のできる $5$ 台の配送トラック $1,2,3,4,5$ が、倉庫から配送センターへ向かう道路を、互いに相談せずに同時に $1$ 本ずつ選ぶ。道路は $P,Q,R$ の $3$ 本である。ある道路を選んだトラックの台数が $k$ 台のとき、その道路を選んだ各トラックの所要時間は
$$P:10k\text{分},Q:(10k+10)\text{分},R:20k\text{分}$$
である。各トラックは自分の所要時間をできるだけ短くしたい。どのトラックも、自分だけ別の道路に移ったときに所要時間が真に短くならないような道路の選び方（各トラックがどの道路を選ぶかの割り当て）を純粋戦略ナッシュ均衡とよぶ。純粋戦略ナッシュ均衡の個数を求めよ。

区別のできる $5$ 人の通勤者 $1,2,3,4,5$ が、駅から会社へ向かう道として、道 $A,B,C$ のうちちょうど $1$ つを同時に選ぶ。道 $A,B,C$ を選んだ人数をそれぞれ $a,b,c$（$a,b,c$ は $0$ 以上の整数で $a+b+c=5$）とするとき、各道を選んだ人が負担する費用（所要時間）は
$$\text{道 }A:a,\text{道 }B:b+1,\text{道 }C:2c$$
であり、各通勤者は自分の費用をできるだけ小さくしたい。どの通勤者も、自分だけが別の道に移ったときに費用が真に小さくならないような選び方の組（誰がどの道を選ぶかの割り当て）を純粋戦略ナッシュ均衡とよぶ。純粋戦略ナッシュ均衡の個数を求めよ。

区別のできる $5$ 台の配送トラック $1,2,3,4,5$ が、倉庫から配送センターへ向かう道路を、互いに相談せずに同時に $1$ 本ずつ選ぶ。道路は $A,B,C$ の $3$ 本である。ある道路を選んだトラックの台数が $k$ 台のとき、その道路を選んだ各トラックの所要時間（費用）は、次のように決まる。
$$c_A(k)=k,c_B(k)=k+1,c_C(k)=2k$$
各トラックは自分の所要時間をできるだけ小さくしたい。どのトラックも、自分だけ別の道路に変えても所要時間が真に小さくならないような道路の選び方（$5$ 台それぞれがどの道路を選ぶかの割り当て）を純粋戦略ナッシュ均衡とよぶ。純粋戦略ナッシュ均衡は全部で何通りあるか求めよ。

区別のできる $6$ 人のドライバー $1,2,\dots ,6$ が、出発地から目的地へ向かう経路を、互いに相談せずに同時に $1$ つずつ選ぶ。経路は $A,B,C$ の $3$ 本である。ある経路を選んだドライバーの人数が $k$ 人（$k$ は正の整数）のとき、その経路を選んだ各ドライバーの所要時間（分）は
$$c_A(k)=3k,c_B(k)=2k+2,c_C(k)=k+6$$
である。各ドライバーは自分の所要時間を小さくしたい（利得は所要時間に $-1$ を掛けたもの）とする。

戦略の組（$6$ 人それぞれがどの経路を選ぶかの割り当て、全部で $3^6$ 通り）のうち、どのドライバーも自分だけ経路を変えることで所要時間を真に短くできないもの、すなわち純粋戦略のナッシュ均衡の個数を求めよ。

区別のできる $7$ 人のプレイヤー $1,2,\dots ,7$ が、同時に経路 $A,B,C$ のうちちょうど 1 つを選ぶ。経路 $A,B,C$ を選んだ人数をそれぞれ $a,b,c$（$a+b+c=7$）とするとき、各プレイヤーの費用は
- 経路 $A$ を選んだプレイヤー: $a$
- 経路 $B$ を選んだプレイヤー: $2b$
- 経路 $C$ を選んだプレイヤー: $c+3$

であり、各プレイヤーは自分の費用を最小にしたい。

このゲームの純粋戦略ナッシュ均衡（7 人それぞれがどの経路を選ぶかの組）の個数を求めよ。