ゲーム理論の問題

手順1：均衡条件を人数の不等式に直す。

1 人が道を移ると、移った先の道の人数は $1$ 増える。したがって、

• 道 $A$ の人（$a\ge 1$ のとき）：$B$ へ移ると費用 $(b+1)+1=b+2$、$C$ へ移ると費用 $2(c+1)$。条件は $a\le b+2$ かつ $a\le 2c+2$。
• 道 $B$ の人（$b\ge 1$ のとき）：$A$ へ移ると $a+1$、$C$ へ移ると $2(c+1)$。条件は $b+1\le a+1$ すなわち $b\le a$、かつ $b+1\le 2c+2$ すなわち $b\le 2c+1$。
• 道 $C$ の人（$c\ge 1$ のとき）：$A$ へ移ると $a+1$、$B$ へ移ると $b+2$。条件は $2c\le a+1$ かつ $2c\le b+2$。

手順2：$a+b+c=5$ を満たす組を調べる。

• $c=0$ のとき：$a\ge 1$ なら $a\le 2$、$b\ge 1$ なら $b\le 1$ が必要だが、$a+b=5$ ではどちらかが $3$ 以上になり、条件を満たさない（例：$(2,3,0)$ は $b\le 1$ に反する）。均衡なし。
• $c=1$ のとき：$C$ の条件から $2\le a+1$、つまり $a\ge 1$。
• $(4,0,1)$：$a\le b+2$ が $4\le 2$ となり不成立。
• $(3,1,1)$：$3\le 3,3\le 4,1\le 3,1\le 3,2\le 4,2\le 3$ すべて成立。
• $(2,2,1)$：$2\le 4,2\le 4,2\le 2,2\le 3,2\le 3,2\le 4$ すべて成立。
• $(1,3,1)$：$b\le a$ が $3\le 1$ となり不成立。
• $(0,4,1)$：$a\ge 1$ に反する。
• $c=2$ のとき：$C$ の条件から $4\le a+1$ かつ $4\le b+2$、つまり $a\ge 3,b\ge 2$ だが $a+b=3$ なので不可能。
• $c\ge 3$ のとき：$a\le 2$ なので $2c\ge 6>a+1$ となり不成立。

よって均衡となる人数の組は $(3,1,1)$ と $(2,2,1)$ である。

（確認：$(2,2,1)$ では費用は $A:2,B:3,C:2$。$B$ の人が $A$ に移ると費用 $3$ で変わらず、真に減らないので均衡である。）

手順3：区別できる人の割り当てを数える。

人数の組 $(a,b,c)$ に対する割り当ては、同じものを含む順列で $\frac{5!}{a!b!c!}$ 通り。

$$\frac{5!}{3!1!1!}=20,\frac{5!}{2!2!1!}=30$$

したがって純粋戦略ナッシュ均衡の個数は $20+30=50$ である。

道 $A,B,C$ を選んだ人数を $(a,b,c)$ とする。均衡の条件は、各道を選んだ人が他の道へ移っても費用が真に小さくならないことである。

• $A$ の人（$a\ge 1$）: $B$ へ移ると費用 $b+2$、$C$ へ移ると費用 $2c+2$ なので、$a\le b+2$ かつ $a\le 2c+2$。
• $B$ の人（$b\ge 1$）: $A$ へ移ると費用 $a+1$、$C$ へ移ると費用 $2c+2$ なので、$b\le a$ かつ $b\le 2c+1$。
• $C$ の人（$c\ge 1$）: $A$ へ移ると費用 $a+1$、$B$ へ移ると費用 $b+2$ なので、$2c\le a+1$ かつ $2c\le b+2$。

$c$ の値で場合分けする。

• $c=0$: $a+b=5$。$a\ge 1$ なら $a\le 2$、$b\ge 1$ なら $b\le 1$ が必要。これらを同時に満たすと $a+b\le 3$ となり、$a+b=5$ に反する。均衡なし。
• $c=1$: $a+b=4$。$C$ の人の条件から $a\ge 1$。
• $(4,0,1)$: $a\le b+2=2$ を満たさない。
• $(3,1,1)$: 全条件を満たす。
• $(2,2,1)$: 全条件を満たす。
• $(1,3,1)$: $b\le a$ を満たさない。
• $(0,4,1)$: $a\ge 1$ を満たさない。
• $c\ge 2$: $C$ の人の条件 $2c\le a+1$ と $a+b+c=5$ より、$c=2$ なら $a\ge 3$ となるが $a+b=3$ から $b=0$、すると $2c=4\le b+2=2$ が成り立たない。$c\ge 3$ では $a+1\le 3<2c$ となり不可能。均衡なし。

均衡の人数分布は $(3,1,1)$ と $(2,2,1)$ のみ。

検算:
- $(3,1,1)$: 費用は $A=3,B=2,C=2$。$A$ の人が $B$ へ移ると 3、$C$ へ移ると 4 で、改善しない。$B$ の人が $A$ へ移ると 4、$C$ へ移ると 4。$C$ の人が $A$ へ移ると 4、$B$ へ移ると 3。いずれも改善しない。
- $(2,2,1)$: 費用は $A=2,B=3,C=2$。$A$ の人が $B$ へ移ると 4、$C$ へ移ると 4。$B$ の人が $A$ へ移ると 3（真には下がらない）、$C$ へ移ると 4。$C$ の人が $A$ へ移ると 3、$B$ へ移ると 4。いずれも改善しない。

人は区別できるので、割り当ての個数は次のとおり。
- $(3,1,1)$: $\frac{5!}{3!1!1!}=20$
- $(2,2,1)$: $\frac{5!}{2!2!1!}=30$

合計 $20+30=50$。