ゲーム理論の問題

道路 $A,B,C$ を選んだ台数をそれぞれ $a,b,c$（$a+b+c=5$、いずれも $0$ 以上の整数）とします。

手順 1：均衡条件を $(a,b,c)$ の不等式に直す。
道路 $A$ のトラック（$a\ge 1$ のとき）は所要時間 $a$ です。$B$ に移ると $B$ は $b+1$ 台になるので所要時間は $(b+1)+1=b+2$、$C$ に移ると $2(c+1)$ です。移っても真に小さくならない条件は
$$a\le b+2,a\le 2c+2.$$
道路 $B$ のトラック（$b\ge 1$ のとき）は所要時間 $b+1$ です。$A$ に移ると $a+1$、$C$ に移ると $2(c+1)$ なので
$$b\le a,b\le 2c+1.$$
道路 $C$ のトラック（$c\ge 1$ のとき）は所要時間 $2c$ です。$A$ に移ると $a+1$、$B$ に移ると $b+2$ なので
$$2c\le a+1,2c\le b+2.$$
（その道路を選んだトラックがいなければ、その道路についての条件は不要です。）

手順 2：条件を満たす組を探す。
- $c=0$ のとき：$a+b=5$。$a\ge 1$ なら $a\le 2c+2=2$、$b\ge 1$ なら $b\le 2c+1=1$ なので $a+b\le 3$ となり、$a+b=5$ になりません（$a=0$ や $b=0$ の場合も、残りの一方が $5$ となり条件に反します）。均衡なし。
- $c=1$ のとき：$a+b=4$。$C$ の条件から $a\ge 1$、$b\ge 0$。
- $(a,b)=(4,0)$：$a\le b+2=2$ に反する。
- $(3,1)$：$3\le 3,3\le 4,1\le 3,1\le 3,2\le 4,2\le 3$ すべて成立。均衡。
- $(2,2)$：$2\le 4,2\le 4,2\le 2,2\le 3,2\le 3,2\le 4$ すべて成立。均衡。
- $(1,3)$：$b\le a$ に反する。
- $(0,4)$：$2c\le a+1$ すなわち $2\le 1$ に反する。
- $c\ge 2$ のとき：$2c\le a+1$ より $a\ge 2c-1\ge 3$、$2c\le b+2$ より $b\ge 2c-2\ge 2$ なので $a+b+c\ge 3+2+2=7>5$。均衡なし。

よって均衡になる台数の組は $(a,b,c)=(3,1,1),(2,2,1)$ の $2$ つです。

手順 3：トラックの割り当てを数えて足す。
トラックは区別できるので、台数の組 $(a,b,c)$ に対する割り当ては $\frac{5!}{a!b!c!}$ 通りです。
$$\frac{5!}{3!1!1!}=20,\frac{5!}{2!2!1!}=30$$
したがって純粋戦略ナッシュ均衡は $20+30=50$ 通りです。

各道路を選ぶトラックの台数を $(a,b,c)$（$a+b+c=5$）とする。均衡の条件は、使われている道路 $r$ の各トラックについて、他の道路 $s$ に変えたときの費用が現在の費用以上であることである。変更後の費用は、A へ変えると $a+1$、B へ変えると $b+2$、C へ変えると $2(c+1)$ となる。

よって条件は次のとおり。
- $a>0$ のとき：$a\le b+2$ かつ $a\le 2c+2$
- $b>0$ のとき：$b+1\le a+1$（すなわち $b\le a$）かつ $b+1\le 2c+2$
- $c>0$ のとき：$2c\le a+1$ かつ $2c\le b+2$

$c$ の値で場合分けする。
- $c=0$：$a>0$ なら $a\le 2$ が必要で、このとき $b=5-a\ge 3$ となり、$b>0$ の条件 $b\le a$ に反する。$a=0$ なら $b=5>a$ で反する。均衡はない。
- $c=1$：$c>0$ の条件から $a\ge 1$ が必要。$a+b=4$ の各場合を調べる。
- $(1,3,1)$：$b\le a$ に反する。
- $(2,2,1)$：A の費用 2、B の費用 3、C の費用 2。変更後の費用は、A から B へ 4、A から C へ 4、B から A へ 3（同じ）、B から C へ 4、C から A へ 3、C から B へ 4。どれも真に小さくならないので均衡である。
- $(3,1,1)$：A の費用 3、B の費用 2、C の費用 2。A から B へ 3、A から C へ 4、B から A へ 4、C から A へ 4 で、均衡である。
- $(4,0,1)$：$a\le b+2=2$ に反する。
- $c=2$：$4\le a+1$ より $a\ge 3$ が必要だが、$(3,0,2)$ は $a\le b+2=2$ に反する。均衡はない。
- $c\ge 3$：$2c\le a+1$ より $a\ge 5$ が必要で不可能。

均衡となる台数の組は $(2,2,1)$ と $(3,1,1)$ のみ。トラックは区別できるので、割り当ての数は次のとおり。
- $(2,2,1)$：$\frac{5!}{2!2!1!}=30$ 通り
- $(3,1,1)$：$\frac{5!}{3!1!1!}=20$ 通り

合計は $30+20=50$ 通り。