ゲーム理論の問題

$v(N)=\min \{2,3\}=2$ である。

コア. 右手袋のプレイヤー $j\in \{3,4,5\}$ について、$N\setminus \{j\}$ は左 $2$ 人・右 $2$ 人を含むので $v(N\setminus \{j\})=2$。コアの条件から
$$\sum _{i\ne j}{x}_i\ge 2=\sum _{i\in N}{x}_i⟹x_j\le 0.$$
一方 $x_j\ge v(\{j\})=0$ なので $x_3=x_4=x_5=0$。さらに $x_1\ge v(\{1,3\})-x_3=1$, $x_2\ge v(\{2,4\})-x_4=1$ で、$x_1+x_2=2$ だから $x_1=x_2=1$。逆に $x=(1,1,0,0,0)$ について任意の $S$ で ${\sum }_{i\in S}{x}_i=\ell (S)\ge \min \{\ell (S),r(S)\}$ が成り立つのでコアに属する。よって $c_1=1$。

シャープレイ値. $n=5$ のとき
$${\phi }_1=\sum _{S\subseteq N\setminus \{1\}}\frac{|S|!(4-|S|)!}{5!}(v(S\cup \{1\})-v(S)).$$
重みは $|S|=0,1,2,3,4$ に対し $\frac{1}{5},\frac{1}{20},\frac{1}{30},\frac{1}{20},\frac{1}{5}$。

プレイヤー 1 が加わると組が 1 つ増えるのは、$S$ の中で右の人数が左の人数より多いとき、すなわち $r(S)>\ell (S)$ のときに限り、そのとき限界貢献は $1$、それ以外は $0$ である。$S\subseteq \{2,3,4,5\}$ で $\ell (S)\in \{0,1\}$。
- $\ell (S)=0$（$2\notin S$）, $r(S)=1$: $3$ 通り、$|S|=1$ → $3\cdot \frac{1}{20}=\frac{3}{20}$
- $\ell (S)=0$, $r(S)=2$: $3$ 通り、$|S|=2$ → $3\cdot \frac{1}{30}=\frac{2}{20}$
- $\ell (S)=0$, $r(S)=3$: $1$ 通り、$|S|=3$ → $\frac{1}{20}$
- $\ell (S)=1$（$2\in S$）, $r(S)=2$: $3$ 通り、$|S|=3$ → $\frac{3}{20}$
- $\ell (S)=1$, $r(S)=3$: $1$ 通り、$|S|=4$ → $\frac{1}{5}=\frac{4}{20}$

合計して ${\phi }_1=\frac{3+2+1+3+4}{20}=\frac{13}{20}$。

（検算: 右手袋のプレイヤー $3$ について同様に、限界貢献 $1$ となるのは $\ell (S)>r(S)$ のときで、${\phi }_3=2\cdot \frac{1}{20}+\frac{1}{30}+2\cdot \frac{1}{20}=\frac{7}{30}$。対称性から $2\cdot \frac{13}{20}+3\cdot \frac{7}{30}=\frac{13}{10}+\frac{7}{10}=2=v(N)$ となり、全体合理性と一致する。）

したがって
$$c_1-{\phi }_1=1-\frac{13}{20}=\frac{7}{20}.$$

左手のプレイヤーは 2 人、右手のプレイヤーは 3 人なので $v(N)=\min \{2,3\}=2$ である。

【コア】左手のプレイヤー $1,2$ と右手のプレイヤー $j$ の提携 $\{i,j\}$ は $v=1$ なので $x_i+x_j\ge 1$（$i=1,2$、$j=3,4,5$）。また $x_i\ge v(\{i\})=0$。総和は $x_1+\cdots +x_5=2$。
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=2$ で、$x_1+x_3\ge 1$、$x_2+x_4\ge 1$ を足すと $x_1+x_2+x_3+x_4\ge 2$ なので $x_5\le 0$。$x_5\ge 0$ と合わせて $x_5=0$。同様に $x_3=x_4=0$。このとき $x_1\ge 1$、$x_2\ge 1$、$x_1+x_2=2$ より $x_1=x_2=1$。よってコアは $(1,1,0,0,0)$ の 1 点で、$c_1=1$。

【シャープレイ値】${\phi }_1$ は 5 人の全順列（$5!$ 通り）にわたるプレイヤー 1 の限界貢献の平均である。プレイヤー 1 より前にいる人の集合を、前にいる人数 $k$ ($k=0,\dots ,4$、各確率 $1/5$) と、その中身（残り 4 人 $\{2,3,4,5\}$ から $k$ 人を一様に選ぶ）で表す。前にいる左手の人数を $l$（0 か 1）、右手の人数を $r$ とすると、限界貢献は $\min \{l+1,r\}-\min \{l,r\}$ で、これは $r\ge l+1$ のとき 1、そうでなければ 0。
- $k=0$: $r=0$ なので貢献 0。確率 0。
- $k=1$: 選ぶ 4 通りのうち右手 1 人（3 通り）のとき貢献 1。確率 $3/4$。
- $k=2$: 6 通りのうち右手 2 人（3 通り）のとき貢献 1（$\{2,\text{右}\}$ は $l=1,r=1$ で 0）。確率 $1/2$。
- $k=3$: $\{2,\text{右},\text{右}\}$（$l=1,r=2$）と $\{\text{右},\text{右},\text{右}\}$ のどちらも貢献 1。確率 1。
- $k=4$: $l=1,r=3$ で貢献 1。確率 1。

${\phi }_1=\frac{1}{5}\left(0+\frac{3}{4}+\frac{1}{2}+1+1\right)=\frac{1}{5}\cdot \frac{13}{4}=\frac{13}{20}$。

検算: 対称性より ${\phi }_1={\phi }_2=13/20$、右手の各プレイヤーは ${\phi }_j=(2-2\cdot 13/20)/3=7/30$。効率性 $2\cdot \frac{13}{20}+3\cdot \frac{7}{30}=\frac{13}{10}+\frac{7}{10}=2$ を満たす。

したがって $c_1-{\phi }_1=1-\frac{13}{20}=\frac{7}{20}$。