ゲーム理論の問題

$n=4$ 人ゲームのシャープレイ値は
$${\phi }_i=\sum _{S\subseteq N\setminus \{i\}}\frac{|S|!(n-|S|-1)!}{n!}(v(S\cup \{i\})-v(S))$$
で与えられる。$|S|=0,1,2,3$ に対する重み $\frac{|S|!(3-|S|)!}{24}$ は順に
$$\frac{6}{24}=\frac{1}{4},\frac{2}{24}=\frac{1}{12},\frac{2}{24}=\frac{1}{12},\frac{6}{24}=\frac{1}{4}.$$

プレイヤー 1（売り手）

$1\notin S$ のとき $v(S)=0$ なので、限界貢献は $v(S\cup \{1\})$、すなわち $S$ に含まれる買い手の価値の最大値（$S=\varnothing$ なら $0$）である。
- $|S|=0$: $S=\varnothing$ で $0$。
- $|S|=1$: $\{2\},\{3\},\{4\}$ で $4+7+10=21$。
- $|S|=2$: $\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\}$ で $7+10+10=27$。
- $|S|=3$: $\{2,3,4\}$ で $10$。
$${\phi }_1=\frac{1}{4}\cdot 0+\frac{1}{12}\cdot 21+\frac{1}{12}\cdot 27+\frac{1}{4}\cdot 10=\frac{21+27+30}{12}=\frac{78}{12}=\frac{13}{2}.$$

プレイヤー 2（価値 $4$）

限界貢献が正になるのは、$S$ が売り手 $1$ を含み、$S$ の買い手の最大価値が $4$ 未満のとき、つまり $S=\{1\}$ のときだけで、その値は $4$ である（$|S|=1$, 重み $\frac{1}{12}$）。
$${\phi }_2=\frac{1}{12}\cdot 4=\frac{1}{3}.$$

プレイヤー 3（価値 $7$）

$1\in S$ の場合を調べる（$1\notin S$ なら限界貢献は $0$）。
- $S=\{1\}$: $7-0=7$（重み $\frac{1}{12}$）。
- $S=\{1,2\}$: $7-4=3$（重み $\frac{1}{12}$）。
- $S=\{1,4\}$, $\{1,2,4\}$: $10-10=0$。
$${\phi }_3=\frac{7+3}{12}=\frac{5}{6}.$$

プレイヤー 4（価値 $10$）

- $S=\{1\}$: $10$（重み $\frac{1}{12}$）。
- $S=\{1,2\}$: $10-4=6$（重み $\frac{1}{12}$）。
- $S=\{1,3\}$: $10-7=3$（重み $\frac{1}{12}$）。
- $S=\{1,2,3\}$: $10-7=3$（重み $\frac{1}{4}$）。
$${\phi }_4=\frac{10+6+3}{12}+\frac{3}{4}=\frac{19}{12}+\frac{9}{12}=\frac{28}{12}=\frac{7}{3}.$$

検算（全体合理性）

$$\frac{13}{2}+\frac{1}{3}+\frac{5}{6}+\frac{7}{3}=\frac{39+2+5+14}{6}=\frac{60}{6}=10=v(N).$$

（参考: このゲームのコアは、$x_1+x_4\geqq v(\{1,4\})=10=v(N)$ から $x_2=x_3=0$、さらに $x_1+x_3\geqq 7$ から $x_1\geqq 7$ となり、$\{(x_1,0,0,10-x_1)\mid 7\leqq x_1\leqq 10\}$ である。シャープレイ値は ${\phi }_2>0$ なのでコアに属さない。）

よって $({\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3,{\phi }_4)=\left(\frac{13}{2},\frac{1}{3},\frac{5}{6},\frac{7}{3}\right)$。

$v(S)=1_{1\in S}\left[4\cdot 1_{S\cap \{2,3,4\}\ne \varnothing }+3\cdot 1_{S\cap \{3,4\}\ne \varnothing }+3\cdot 1_{4\in S}\right]$ と分解できる（$S$ が $1$ を含むとき、$41+31+31$ は最大の買い手の評価額 $4,7,10$ を与える）。確認: $\{1,2\}\to 4$、$\{1,3\}\to 4+3=7$、$\{1,4\}\to 4+3+3=10$、$\{1,3,4\}\to 10$。\n\n$T$ を買い手の集合として $w_T(S)=1_{1\in S,S\cap T\ne \varnothing }$ のシャープレイ値を求める。$|T|=m$ とする。ランダムな順序で、売り手 $1$ の限界貢献が 1 になるのは、$T$ の誰かが $1$ より前にいるときで、$1$ と $T$ の $m+1$ 人の相対順序で $1$ が最初でない確率 $\frac{m}{m+1}$ である。よって ${\phi }_1=\frac{m}{m+1}$。効率性と $T$ 内の対称性から、$T$ の各人は $\frac{1}{m(m+1)}$、$T$ 外は 0。\n\n- $T=\{2,3,4\}$（係数 4, $m=3$）: 売り手 $3$、各買い手 $\frac{1}{3}$\n- $T=\{3,4\}$（係数 3, $m=2$）: 売り手 $2$、買い手 3, 4 に各 $\frac{1}{2}$\n- $T=\{4\}$（係数 3, $m=1$）: 売り手 $\frac{3}{2}$、買い手 4 に $\frac{3}{2}$\n\n合計: ${\phi }_1=3+2+\frac{3}{2}=\frac{13}{2}$、${\phi }_2=\frac{1}{3}$、${\phi }_3=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$、${\phi }_4=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{7}{3}$。\n検算: $\frac{13}{2}+\frac{1}{3}+\frac{5}{6}+\frac{7}{3}=10=v(N)$ で効率性を満たす。