指数関数と対数関数の問題

正の整数 $N$ が $n$ 桁であることは、$10^{n-1}\le N<10^n$ と同じです。各辺の常用対数をとると、$n-1\le {\log }_{10}N<n$ となります。そこで、まず ${\log }_{10}{3}^{40}$ を求めます。

対数の性質 ${\log }_{10}{M}^k=k{\log }_{10}M$ を使うと、
$${\log }_{10}{3}^{40}=40{\log }_{10}3=40\times 0.4771=19.084$$
です。

したがって
$$19\le {\log }_{10}{3}^{40}<20$$
が成り立ちます。底 $10$ は $1$ より大きいので、これは
$$10^{19}\le 3^{40}<10^{20}$$
と同じです。

$10^{19}$ は $20$ 桁の最小の数で、$10^{20}$ は $21$ 桁の最小の数です。よって $3^{40}$ は $20$ 桁の整数です。

答え：$20$ 桁

${\log }_{10}{3}^{40}=40{\log }_{10}3=40\times 0.4771=19.084$。よって $19<{\log }_{10}{3}^{40}<20$ より $10^{19}<3^{40}<10^{20}$ である。したがって $3^{40}$ は 20 桁の整数である。検算として、$3^{40}=12157665459056928801$ は 20 桁である。