指数関数と対数関数の問題

手順1：${\log }_{10}{6}^{15}$ を計算する。

$${\log }_{10}{6}^{15}=15{\log }_{10}6=15({\log }_{10}2+{\log }_{10}3)=15\times 0.7781=11.6715$$

よって $6^{15}=10^{11.6715}=10^{11}\times 10^{0.6715}$ である。

手順2：整数部分と小数部分に分ける。

${\log }_{10}{6}^{15}=11.6715$ の整数部分は $11$、小数部分は $0.6715$ である。$10^{11}$ は桁の位置だけを決める。最高位の数字は $10^{0.6715}$（$1$ 以上 $10$ 未満の数）の整数部分で決まる。

手順3：小数部分を ${\log }_{10}k$ の値と比べる。

$${\log }_{10}4=2{\log }_{10}2=0.6020,{\log }_{10}5={\log }_{10}\frac{10}{2}=1-{\log }_{10}2=0.6990$$

であるから、

$${\log }_{10}4<0.6715<{\log }_{10}5$$

が成り立つ。

手順4：最高位の数字を読み取る。

底 $10$ は $1$ より大きいので、$y=10^x$ は増加関数である。したがって $4<10^{0.6715}<5$ となる。

両辺に $10^{11}$ をかけると

$$4\times 10^{11}<6^{15}<5\times 10^{11}$$

よって、$6^{15}$ の最高位の数字は $4$ である。

（参考：$6^{15}=470184984576$）

${\log }_{10}{6}^{15}=15({\log }_{10}2+{\log }_{10}3)=15(0.3010+0.4771)=15\times 0.7781=11.6715$。よって $6^{15}=10^{11}\times 10^{0.6715}$ で、$6^{15}$ は 12 桁の数。
最高位の数字を調べるため $10^{0.6715}$ を評価する。${\log }_{10}4=2\times 0.3010=0.6020$、${\log }_{10}5=1-0.3010=0.6990$ より、$0.6020<0.6715<0.6990$。ゆえに $4<10^{0.6715}<5$ で、最高位の数字は 4。
検算：$6^{15}=470184984576$ で、最高位は 4、12 桁であり、上の結果と一致する。