指数関数と対数関数の問題

1. ${\log }_{10}{6}^{20}$ を求める。

$${\log }_{10}{6}^{20}=20{\log }_{10}6=20({\log }_{10}2+{\log }_{10}3)=20\times (0.3010+0.4771)=20\times 0.7781=15.562$$

2. 整数部分と小数部分に分ける。

${\log }_{10}{6}^{20}=15+0.562$ であるから
$$6^{20}=10^{15}\times 10^{0.562}$$
と書ける。$10^{15}$ は位をずらすだけなので、最高位の数字は $10^{0.562}$ の整数部分で決まる。$1\le 10^{0.562}<10$ であることに注意する。

3. 小数部分 $0.562$ を ${\log }_{10}k$ と比べる。

$${\log }_{10}3=0.4771,{\log }_{10}4=2{\log }_{10}2=2\times 0.3010=0.6020$$
であるから
$${\log }_{10}3<0.562<{\log }_{10}4$$
が成り立つ。底 $10$ は $1$ より大きいので、これより
$$3<10^{0.562}<4$$
となる。

4. 結論を出す。

$3\times 10^{15}<6^{20}<4\times 10^{15}$ であるから、$6^{20}$ の最高位の数字は $3$ である。

${\log }_{10}{6}^{20}=20({\log }_{10}2+{\log }_{10}3)=20(0.3010+0.4771)=20\times 0.7781=15.562$。
よって $6^{20}=10^{15}\times 10^{0.562}$ であり、$6^{20}$ は 16 桁の数。
最高位の数字を求めるため $10^{0.562}$ を評価する。
${\log }_{10}3=0.4771$、${\log }_{10}4=2\times 0.3010=0.6020$ なので $0.4771<0.562<0.6020$ となり、$3<10^{0.562}<4$。
したがって $3\times 10^{15}<6^{20}<4\times 10^{15}$ で、最高位の数字は 3。
検算: $6^{20}=3656158440062976$ で、最高位は 3、16 桁であり、上の結果と一致する。