指数関数と対数関数の問題

正の整数 $N$ が $n$ 桁であることは、
$$10^{n-1}\le N<10^n$$
と同じです。各辺の常用対数をとると
$$n-1\le {\log }_{10}N<n$$
となります。そこで、まず ${\log }_{10}{3}^{40}$ を求めます。

対数の性質 ${\log }_{10}{M}^k=k{\log }_{10}M$ を使うと
$${\log }_{10}{3}^{40}=40{\log }_{10}3=40\times 0.4771=19.084$$
です。

したがって
$$19\le {\log }_{10}{3}^{40}<20$$
が成り立ちます。底 $10$ は $1$ より大きいので、大小関係を保ったまま対数をはずせて
$$10^{19}\le 3^{40}<10^{20}$$
となります。

$10^{19}$ は $20$ 桁の最小の数で、$10^{20}$ は $21$ 桁の最小の数です。よって、$3^{40}$ は $20$ 桁の整数です。

${\log }_{10}{3}^{40}=40{\log }_{10}3=40\times 0.4771=19.084$ である。したがって $19<{\log }_{10}{3}^{40}<20$ より $10^{19}<3^{40}<10^{20}$ となる。$10^{19}$ は 20 桁の最小の整数なので、$3^{40}$ は 20 桁の整数である。検算として、$3^{40}=12157665459056928801$ であり、これは 20 桁である。